Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 76

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 214 >> Следующая


Пусть Qj(m) — событие: система попадает в /-е состояние по меньшей мере т раз, a tj— число шагов до первого попада-лия в состояние /. Тогда

оо

Q/ (m) = (J Qj (т) Г) {ту = п}.

1
3 6] ЦЕПИ МАРКОВА СО СЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ 197

Пусть дц(т) — вероятность события Qj(m), если |(0) = i. Имеем

оо

Цп (m) = Z Р (Qi М п [т/ = п] 11 (0) = г) =

1 /г=1

оо

= ? P(i> (Q/ И | Ту = /г) Р<г> (т, = п 11 (0) = г) = tl=l

оо

= Е /(п) 0'. /) P(i) (Qi (т) I тi = n). /1=1

Нетрудно проверить, что

P(i)(Q/(m) |т/ = я) = Р</> (Q/(m— l)) = <7//(m— 1).

Таким образом,

qiS (m) = F (г, /) qu (m — 1). (8)

Пусть qiS — qit(oo) — вероятность того, что система, выйдя из г-го состояния, попадает в /-е состояние бесконечно много раз. Так как qij = \\mqli(m), то из (8) следует

т->оо

Чн = F (I, /) Яп- (9)

Теорема 3. Если j — возвратное состояние, то qn = F (г, /) и, в частности, qц = 1; если же / невозвратно, то qn = 0 для любого i.

Доказательство. Если F(j, j) < 1, то, положив в (9) г = /, получим q,, = 0 и из того же равенства имеем q^ = 0. Если F(j,j) = 1, то из (8) вытекает qjj(tn) — [F(j, /)}m_1 = 1, откуда Яа = 1. Из (9) тогда следует, что qi} = F(i,j). Щ

Пусть F(i,j)= 1. Из свойства строгой марковости (см. § 5, теорема 5) получаем

р<0 (в п (Л & (т/+^=м)) -p(i> р</) ((4)=ы)

для любого Из этого соотношения вытекает

Теорема 4. Если F (t, /) = 1, то случайный процесс ?'(t) =

= g(tj + 0 (1(0)—0 стохастически эквивалентен §(t) с на-

чальным состоянием ?(0) = / и не зависит от а-алгебры .

Следствие. Пусть |(0) = г, t — возвратное состояние, ii — число шагов до первого возвращения в i, |2 — число шагов между первым и вторым возвращением в i и т. д.

Случайные величины ?2. • • •. in, • •. одинаково распределены и независимы.

Теорема 5. состояние i возвратно и F (г, /) > 0, то си-

стема, выйдя из состояния i, посетит j бесконечно много раз (Ягз = 1) и F(j, i) > 0. В частности, F(i, j) — 1.
198 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. ш

Из теоремы 3 следует, что число возвращений в состояние г бесконечно. Пусть Сь. обозначает событие: ь^ежду (k—1)-м и ft-м посещениями состояния i система зайдет в состояние /. В силу строгой марковости процесса события Си независимы

оо

между собой и имеют одну и ту же вероятность. Так как (J С к

А=1

есть вероятность того, что система вообще когда-либо посетит

оо

/, то Р(Сй)>0 и ?Р(С*) = оо. Из теоремы Бореля — Кан-*=i

телли следует, что с вероятностью 1 осуществляется бесконечно много Сй. Более того, система, попав в /-е состояние, бесконечно много раз посетит i-e состояние. ¦

Следствие 1. Из возвратного состояния достижимы только возвратные состояния. Возвратные состояния существенны.

Это следствие уточняет теорему 2, полученную ранее с применением производящих функций.

Следствие 2. В классе сообщающихся состояний, содержащем возвратное состояние, все остальные состояния также возвратны, и система, находящаяся в этом классе, с течением времени с вероятностью 1 попадает во все остальные состояния класса, и притом бесконечно много раз.

Класс возвратных сообщающихся состояний будем называть возвратным классом.

Положим

оо

G(i, /)= %PM(i, /)•

Смысл этого ряда был выяснен для случая i = j. В общем случае установим следующее соотношение:

Z Р(п) (i, /)

lim ------------=F(t, /). (10)

Z p(a)u,n

Доказательство основано на формуле (4). Полагая в (4) п = s= 1, 2, N и суммируя полученные равенства, будем иметь

? P{n)(i, /)= Z Z f(n-s)a, i)P(s)a, /)=

п=1 5“ 0

= Z Z i)p(s) (!,!)= Z P(S)(I, j)FN-Sf

s-0 rt=s+l о
ЦЕПИ МАРКОВА СО СЧЕТНЫМ числом состоянии 199

где Fn-s = Z f{n)(i,i) и FN-+F{i,i) при N -* оо. Таким образом,

N — s

Z

1

л

I

_________________* р(5) (/. /)

,v / rw-s д?

Z р(гг) (/> /) s=° Z p(n) (/> /)

n—0 n~0
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed