Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
225
l/Lx. Это характерное обстоятельство: теория численного интегрирования жестких систем не может рассматривать предельного перехода при х -* 0. Поэтому теорема «аппроксимация + устойчивость (А, Л(а), L и т.п.) => сходимость» здесь не действует. Точнее, теорема справедлива, но бесполезна, так как нужно обосновать метод не в пределе при г -*¦ 0, а совсем в другой области значений х, когда малы оба упомянутых выше параметра.
Теория, оперирующая только с аппроксимацией и Л-устойчиво-стью, принципиально не полна. Это иллюстрирует следующий пример явной Л-устойчивой схемы, аппроксимирующей линейную жесткую систему х — Ах:
(*« + 1 - хпУх = ИХп’ Х)АХП> (24)
где (3(л;„, х) = (er(xJx — 1)/(г(л:„)х), а г(л:) есть отношение Рэлея в точке х: г(х) = (Ах, х)/(х, х). Легко проверить аппроксимацию: при х -*¦ 0, очевидно, р = 1 + О(х). Так же несложно проверить А-устойчивость: если х — скаляр, Ax = Xx, Re к < 0, то r(x) = X, P = (еХг — 1)/(кх) и из (24) получаем л;п+1 = еХххп.
Можно ли на этом основании утверждать, что хотя бы для линейных жестких систем построен явный Л-устойчивый алгоритм численного интегрирования? Видимо, нет. Проанализируем вычисления по схеме (24). Если разложение точки хп в сумму по собственным векторам А содержит существенную жесткую компоненту (при интегрировании в области пограничного слоя), то r(xn) я» -L и при Lx»l величина P « l/Lx, т.е. формула (24) превращается в интегрирование с малым шагом х* = р(х, т)х я» 1/L. Следует только иметь в виду, что и время нужно интегрировать по формуле, аналогичной (24): tn+l = tn + Px. Пройдя слой, траектория х попадает в область, где в разложении хп вклад жесткой компоненты пренебрежимо мал. В этом случае r(xn) = 0(1), P = 0(1) и делается шаг действительно с большим х. Ho это сразу же приводит к росту в xn+i жесткой компоненты, фактический шаг (Зх снова падает, и т.д. Трудно оценить эффективность такого адаптирующегося алгоритма. Как показали исследования В. И. Лебедева, явные схемы имеют некоторые возможности и при интегрировании жестких систем. Однако его теория основана на достаточно сложных построениях последовательности чередующихся малых и больших шагов. Она имеет самую непосредственную связь с устойчивыми последовательностями параметров в методе чебышевского ускорения итераций (см. § 14).
В-теория численного интегрирования. Изложим основные понятия и результаты развиваемой в последние годы специальной теории численных методов для жестких систем (2). Класс изучаемых
8 — 1833
226
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Ч. И
систем выделяется важной количественной характеристикой правой части, называемой односторонней константой Липшица. Предполагается, что / удовлетворяет условию
{Пу)-Пх),у-х)*1\\у-х\\\ 1 = 0(1). (25)
Величина I считается имеющей порядок 0(1), в то же время классическая константа Липшица или, что почти то же самое, WfxW может быть сколь угодно большой величиной: L»/.
Целью Б-теории является получение таких оценок точности численного решения, которые не зависят от больших констант L, а сформулированы в терминах только односторонней константы Липшица I. Разумеется, эти оценки должны зависеть от гладкости искомою точного решения системы (2). В дальнейшем будем обозначать точное решение X(t). Эта функция предполагается гладкой в том смысле, что
*(0 = 0(1), *(0 = 0(1), *(0 = 0(1), ... (26)
Другими словами, столько производных точного решения, сколько нужно при проведении тех или иных оценок, считаются величинами порядка 0(1). Следовательно, речь идет об интегрировании системы вне слоев. Это предположение согласуется с предшествующим анализом. Мы имеем дело с гладкой траекторией, со всех сторон окруженной существенно негладкими траекториями. При этом окружающие траектории содержат кратковременные участки, на которых их производные очень большие (O(L)), и являются гладкими вне этих тонких слоев.
Одностороннее условие Липшица гарантирует важное свойство множества траекторий системы. Пусть X(t), Y(t) — две такие траектории. Оказывается, они не могут сильно расходиться с течением времени. В самом деле, оценим
± \\Y(t)-X(I)W1 = ^(Y-X, Y-X) =
= 2(Y-X, Y—X) = 7(f(Y)—f(X), Y-X) till ||У-*||2.
Отсюда
И У(0 - X(I) у =S И Y(O) - Ar(O) Il е“. (27)
Если бы мы использовали классическую константу Липшица, мы имели бы в экспоненте показатель Li, разрешающий существенно более сильно «разбегание» траекторий. При I < О системы (2), (25) хорошо известны в теории дифференциальных уравнений под именем «диссипативных». В этом случае все траектории с ростом t сближаются, т.е. обладают свойством «аттрактивности».
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
227
Общая теория В-сходимости. Анализ точности численного интегрирования жестких систем оперирует со следующими основными объектами:
1. Разностная схема, записанная, для определенности, в виде
*„+і = *„ + тФ(т’ (28)
Здесь хп — приближенное решение в точке tn = пт. Схема неявная; Ф, конечно, тем или иным способом выражается через /.
2. Ограничение на сетку точного решения Xn = X(tn).
