Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
a1 = Xi-Xn-T 2 Cifjf(XJ), т.е. a;=0(ts+1).
J
Следующий характерный шаг в 5-теории исследования схем — оценка погрешности согласования, причем не всякая схема, обладающая 5-аппроксимацией порядка s является fi-согласованной порядка s. В принципе порядок согласованности может понизиться и даже стать равным нулю.
Исследование В-согласованности. Схема (36), (38) является характерным примером неявных схем Рунге—Кутты, обладающих свойствами 5-согласованности и 5-устойчивости. Для таких схем типичны следующие признаки.
а) Вспомогательные величины Y1 вычисляются по формулам типа (38). Если в (38) CiiJ = 0 при j > і, метод оказывается явным. Если CiiJ = 0 при j > і, метод называют однократно неявным. В этом
случае Yi вычисляются последовательно. Вычисление каждого вектора Yi требует решения системы dim х нелинейных уравнений. Рассматриваемая интерполяционная схема является полностью неявной. Все значения Y1 находятся одновременно решением системы s dim х нелинейных уравнений.
б) После вычисления величин Yi, /‘ шаг интегрирования осуществляется по формуле (36), в которой сумма аппроксимирует интеграл в (34) с погрешностью 0(тї+1). Таким образом, формальный порядок аппроксимации есть s.
Перейдем теперь к вопросу о 5-согласованности. Это исследование требует оценки погрешности согласования у на гладком решении жесткой системы. Пусть X(t) — точное гладкое решение, а Xn =X(tn). Сделаем один шаг по схеме (36), (38) и вычислим ве-
234
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
личину Z по формуле
S
Z =Xn +f (Yi),
J-1
где У7 получены обычным образом из (38) (с заменой хп на Xn). Подлежащая оценке величина есть
Vn+i = *„+1 — z.
Для ее оценки ВЫЧИСЛИМ Хп+1 тем же самым способом, т.е. выпишем для нее систему соотношений типа (36), (38). Конечно, это будет не в точности та же самая система: она будет отличаться на некоторые погрешности аппроксимации. Возьмем вместо Yi значения X(tn + |'т), обозначая их через Xі. Подставим Х> в (38), добавляя соответствующие невязки:
S
х‘ = хп+х2 aU + а‘, і =1,2,..., s,
J-1
где а1 = 0(т5+|). В результате мы получили уравнения для величин, подлежащих сравнению (i = 1, 2, ..., s):
yi=Xn + '2 aU Х‘ = Хп+ *2 aU f(XJ) +
J (39)
г = Хп + т2Ы f(YJ), Xn+l = + T 2 V f(XJ) + a.
J J
Нас интересует оценка ||Z — -X'n+jll, для а имеем оценку
0(т5+1). Дальше должна работать стандартная схема. Из того, что системы (39) мало отличаются друг от друга, следует заключение, что их решения {Y1, ..., Ys, Z} и {Xх, ..., Xs, Хп+1}, которые мы теперь обозначим Y и X соответственно (их размерности, очевидно, равны (s + I) dim х), также мало отличаются друг от друга и можно получить оценку для погрешности согласования:
llY„+1ll = l|Z-*n+1||<C||a||, т.е. IlVlI = О(х-+0- (40)
Эта оценка была бы тривиальной, если бы малый параметр т был настолько мал, что IIZxHt-=K 1. Ho мы имеем дело с принципиально иной ситуацией: TlIZxIl»1. Система существенно нелинейная, и нужное соотношение (40) удается получить за счет специальных свойств f: используя диссипативность или одностороннюю константу Липшица I = 0(1). Вообще говоря, соотношение (40) справедливо далеко не для всех схем. Это — особое свойство лишь некоторых
§17]
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
235
схем, которые считаются согласно fi-теории пригодными для численного интегрирования жестких систем. Для этого свойства вводится соответствующий термин.
Определение 6. Разностная схема называется 55-устойчивой, если из (39) следует (40).
Итак, 55-устойчивость — это новое для нас свойство разностной схемы, связывающее погрешность согласования с погрешностью аппроксимации. Напомним, что 5-теория оперирует именно с погрешностью согласования. Погрешность аппроксимации, вычисление которой тривиально в стандартном случае (когда искомое решение — гладкая функция, а / и все ее необходимые производные суть величины 0(1)), в жестком случае оценивается на гладком решении далеко не просто. После этого предстоит сложная работа по оценке погрешности согласования.
Исследование BS-устойчивости. Это один из важнейших элементов исследования схемы. Выделим основные факторы, на основе которых удается установить 55-устойчивость. Вычитая уравнения (39), получаем (і = 1, 2, ..., s)
Xi-Yi = х J аи {f(Xi) - f(yJ)} + а‘,
J (41)
xn+i-Z = xI** V(Xj) - f(YJ)) + «• і
Введем векторы
V= {Xі-Y1, ...,Xs -У5},
W={f(Xl)-f(Yl), ..., f(Xs)-f(Ys)}.
Каждая компонента этих векторов есть вектор размерности N = dim х; таким образом, VtWG Rns. Введем еще единичную матрицу е в //-мерном пространстве. Определим матрицы
А = {аие}* J=1, В = {Ь1е, Ьге, ..., bse). (42)
Очевидно, А — матрица Ns-*Ns, В — матрица Ns-*N. Теперь уравнения (41) можно записать в виде
V = хAW + а, у =TBW+ а, а = {а1, а2, ..., а*}. (43)
Ключевым фактом, используемым для установления 55-устойчивости, является соотношение
(V, W) < I ||У||2
(44)
236 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
(I — односторонняя константа Липшица для /). Оно устанавливается прямой проверкой: