Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Расчет на неустойчивой ветви Г. Нельзя исключить возможности того, что в силу каких-то причин точка (хп, уп) окажется в окрестности неустойчивой ветви Г. Здесь система (12) уже не является жесткой (в принятом смысле), так как среди собственных значений матрицы /Х(хп, уп) имеются значения с положительной действительной частью. Такая точка является для системы (12) неустойчивой (L»l). Траектория очень быстро (за время 0(L-1)) уходит от этой части Г, попадая либо на устойчивую ветвь Г, либо в бесконечность. В какой-то мере здесь мы имеем ситуацию, аналогичную уже рассмотренной на с. 219: ведь проведенный там анализ никак не был связан со свойствами спектра матрицы fx.
В малой 0(х)-окрестности точки (хп, уп) имеется решение системы уравнений неявной схемы (15), и в принципе мы можем получить именно ее, что уже приводит к неверному результату: численная траектория конечное время 0( 1) будет находиться в окрестности неустойчивой ветви Г. Реализуется эта возможность или нет, зависит от итерационного процесса, используемого для решения системы нелинейных уравнений (15). Насколько нам известно, ситуация здесь такая. Если используется хороший, быстро сходящийся
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
221
процесс, например метод Ньютона, то совершенно неважно, какое из решений системы (15) отыскивается — на устойчивой или на неустойчивой ветви Г. В этом случае мы сталкиваемся с крайне неприятной ситуацией: ветвь Г неустойчивая для дифференциальною уравнения, становится устойчивой для разностною уравнения (15) (разумеется, при интегрировании с большим шагом).
Можно предложить итерационный процесс решения (15), различающий устойчивую и неустойчивую ветви Г, т.е. такой, который сходится в первом случае и расходится во втором. Ho едва ли он представит какой-нибудь практический интерес, так как сходимость процесса будет столь медленной, что затраты машинного времени на решение (15) приблизят такой метод к интегрированию с малым шагом t*]|/J| як 1. Возможность построения итерационного процесса, быстро сходящегося на устойчивой ветви и автоматически расходящегося на неустойчивой, сомнительна.
A-устойчивые разностные схемы. Переходим к общему случаю, предупредив, что здесь нет полной ясности. Качественный характер решения в этом случае в какой-то мере аналогичен тому, что было в сингулярно-возмущенной системе. В решении выделяются резкие кратковременные скачки, перемежающиеся длительными участками спокойного течения процесса. При этом скачки происходят на коротких отрезках времени, много меньших шага интегрирования на «спокойных» участках. Дело осложняется тем, что характерные объекты, явно выделенные в сингулярно-возмущенных системах (разделение компонент системы на быстрые и медленные, зоны пограничных слоев, уравнение поверхности квазистационарно-го решения, условие его устойчивости), в общем случае уже не допускают такого выделения; они замаскированы, их аналитическое описание или очень сложно, или даже неизвестно.
При конструировании разностных схем для интегрирования жестких систем с большим шагом т в настоящее время принято удовлетворять следующим требованиям:
а) схема должна аппроксимировать дифференциальное уравнение в обычном смысле слова (см. § 4—6);
б) схема должна обладать специфической устойчивостью типа A-, Л (а)-, L-устойчивости (смысл этого требования разъясняется ниже);
в) схема должна пройти практическую проверку решением ряда общепризнанных задач-тестов.
Обратимся к /!-устойчивости. Имеется в виду исследование поведения численного решения простейшего уравнения х = Xx, полученного с помощью рассматриваемой схемы с большим шагом т. Начнем с примера одной из схем типа Адамса:
хп + 2 ~ з Хп+\ "Ь 3 хп — з т f(xn+l) = 0« OS)
222
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Это — неявная схема. Вычисление хп+2 требует решения нелинейной системы уравнений. Так как t||/jc||>s> 1, ее нельзя рассматривать как малое возмущение тривиальной системы, получающейся из (18) при т = 0. Для f(x) — Xx решение (18) находится в виде хп = Cj0" + C2QГде Qi, Q2 — корни характеристического уравнения
Они легко вычисляются:
Далее нужно исследовать поведение решения (18) для тех значений %, которые представляют интерес при интегрировании жестких систем. В плоскости комплексного переменного ? выделяются две характерные области, которые должны покрыть спектр жесткой системы. Первую область называют «областью точности». В нее входят малые значения при которых решение разностного уравнения
аппроксимирует точное решение в обычном смысле слова. Легко показать, что ^1(I) = (1 4- 0(|||3)) при 1«1. Следовательно,
CjtfJ = Cyenх* (I + 0(Il12)) при п^Т/х. Второе слагаемое C2Q2 быстро стремится к нулю, так как Q2 tz 1/3. Постоянные C1 и C2 определяются заданием дополнительных начальных данных X1. Эту величину следует задать так, чтобы было С1 = Х0 + О(х2), только тогда схема имеет второй порядок точности. Обычно зону точности исследуют (привлекая численные методы) подробнее: выделяют зоны, в которых In tfj(|) совпадает с | с погрешностью 1 %, 2 % и т.д. Чем шире подобные зоны, тем точнее схема.
