Физика. Задачи для поступающих в вузы - Бендриков Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I МЕХАНИКА § 1. Прямолинейное равномерное и равнопеременное движение
1. Направим координатную ось OS с началом в точке отправления поездов вдоль направления движения (рис. 177). Координата товарного
Л, км
О
—*~
l>2 S 2
Рис. 177
Рис. 178
поезда в момент времени t, когда его догнал экспресс, Л| = vtt. Координата экспресса, который шел на время X меньше, в этот же момент времени s2 = v2(t - х). Обе эти координаты должны быть равны координате места, где экспресс догнал товарный поезд: j] = s2 = s. Приравняв ,V| и s2, находим
t = v2%l(v2 — V\) = l Ч, .V = V{ v2%l(v2 - Ut) = 36 KM.
Графическое решение представлено на рис. 178, где линии I и 2-графики движения товарного поезда и экспресса. Точка их пересечения определяет координату ^ места, где экспресс догонит товарный поезд, и время t, когда это произойдет.
2. Направим координатную ось с началом в точке С от С к В (рис. 179). Законы движения первой и второй автомашин имеют вид
А о, ¦»
С
В
L/2
О
L/2
Рис. 179
¦*1:
-L/2 + V{t, s2 = L/2 - i^t.
205
При встрече координаты должны быть одинаковы: sj = s2 = s. Приравняв .V) и s2, находим
t = L/{vx + v2) = 1,5 ч, .v = L/2 -v2t = - L/2 + v{t = - 30 км.
Графическое решение представлено на рис. 180, где линии 1 и 2-графики движения первой и второй автомашин. Точка их пересечения определяет время t и координату s места встречи.
.V, км /, км
График зависимости расстояния / между автомашинами от времени t показан на рис. 181.
3. Закон движения конца стержня А \ хА = л0 + iit, уА = 0; следовательно,
У в = Ф2 -Оо +W)2.
4. В неподвижной системе координат (рис. 182) обгон начинается, когда координаты начала экспресса и конца товарного поезда одинаковы и
равны, например, s0. Заканчивается обгон в момент времени, когда одинаковы координата л-1 начала товарного поезда и координата Л2 конца экспресса. Если за начальный момент времени принять начало обгона, то законы движения начала товарного поезда и конца экспресса будут
S1 = s0 + h + vlt> s2 = s0 ~ h + v2t-Приравняв и s2, получим /=(/)+ /2)/(v2--ц) = 50 с.
206
и
ДЯДЕ
OS
Рис. 183
: Эту задачу можно решить в движущейся
вместе с товарным поездом системе координат, начало которой совпадает с началом этого поезда, а направление - с направлением его движения (рис. 183). В этой системе координат скорость экспресса v2 =
= v2 - У]. Закон движения конца экспресса,
если за начальный момент времени принять начало обгона, будет иметь вид s = -(1х+ 12) + v{t. В момент завершения обгона конец экспресса окажется в начале нашей системы координат. Поэтому его координата s = 0; следовательно, для этого момента времени
/] + l2 = l>2 t, t = (/) + l2)/(v2 — Wj) = 50 с.
5.1 = (и, + v2)t = 150 м.
6. и, = л/и|~
¦ 2lv2/t
15 м/с.
7. В системе координат, изображенной на рис. 184, законы движения наклонной плоскости и стержня имеют вид
х1 = s = ut, ух =0; х2 = 0, у2 = h = vt.
Для любого момента времени y2 = h = s tg а, следовательно, v = и tg а.
8. Вертикальная составляющая скорости капель иу = и cos а от скорости движения трамвая и и скорости ветра и- не зависит. Горизон-
тальная проекция скорости капель при неподвижном трамвае определяется скоростью ветра: ил. = и sin а = w. При движении трамвая согласно условию
v' = и sin а- и = 0, или w = u = 5 м/с.
Из рис. 185 находим, что скорость капель в безветренную погоду vy = vx ctg а = и ctg а = 8,66 м/с.
9. Направим ось ОХ системы координат с началом в месте, где пловец входит в воду, вдоль берега по течению, а ось OY - перпендикулярно к
207
берегу. Предположим, что скорость пловца и составляет с осью ОХ угол а (рис. 186). Тогда закон движения пловца в проекциях на оси координат будет иметь вид
х = (и + v cos a)t, у = (и sin a)r.
Пловец попадает на другой берег, когда у = h. Необходимое для этого время г = h/v sin а. Оно будет минимальным, когда sin а максимален, т.е. a = я/2 (рис. 187): rmin = h/v.
, Y
V -IN v sin a v»> .
ucosa О и X
Рис. 186
Рис. 187
При a = п/2 имеем х = их. Поэтому, когда пловец окажется на другом берегу, / = jrmm = nfmm = uh/v. Длина пройденного пути
5 = л//2 + h2 — h'Ju2 + v2 fv.
10. В системе координат XOY с началом в пункте А (рис. 188) координаты лодки:
x-iii-v cos a)t, у = (и sin a)t.
Подставляя x = l,y = h, получим v =hu/(l sin a + h cos a).
11. Направим ось OX системы координат (рис. 189) против движения корабля (на восток), а ось OY - перпендикулярно к движению (на север). Проекция и()Л. = и{) cos Р скорости ветра щ относительно корабля больше
Рис. 188
проекции их - и cos о. скорости ветра и относительно земли на величину v (здесь Р и a - углы между курсом корабля и направлениями скоростей и0 и
и, и - скорость корабля):
и0 cos Р = и cos a + и. (I)
208
Проекции скоростей г^, = г<0 sin (3 и иу = и sin а в направлении, перпендикулярном к движению корабля, равны между собой:
«о sin (3 = и sin а. (2)
Чтобы исключить неизвестный угол (3, возведем (1) и (2) в квадрат и сложим почленно: Uq -и2 + и2 + 2vu cos а; отсюда
и = - и cos а ± л/ь'2(cos2 а -1) + Ид ¦
