Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
6. Присоединенные функции Лежандра
Присоединенные функции Лежандра Pf (*) определены для целочисленных значений m = 0,1..... I следующим равенством*:
PT (X) = (-1)- (1 -х’)тп.
Из этого равенства видно, что Р/ (X)=Pi(X). Используя уравнение (П.2), выражение для Pf (*) можно преобразовать к виду
PT (X) = -lTj- (I -*a)m/2 —Г— (X*-1)1.
2l-l\ dxl+m
• Множитель (—\)т в выражении для P™ (*) общепринят [3], но не универсален [9], и читатель может встретить различные представления у разных авторов.
475
Последнее уравнение может быть использовано при определении Pjn (*) для отрицательных целочисленных значений т, таких, что \т \ < /. Нетрудно показать, что
Присоединенные функции Лежандра обладают свойством ортогональности + I 2 (1 + т)\
\ P1P (X) Р™ (X) dx=------\L±™L б ,
J 1 ' 2/ + 1 (1—т)\ 11
и для них справедливы рекуррентные формулы:
xP?(x)=-fi^W-rn+i)P?+i (X)+ (I+ т) PIL1 (X));
dPm {х)
(хг—1) —--------= IxPT1 (*) —(l + m) P1P
dx
(X) .
Первые присоединенные функции Лежандра имеют вид
Р\ (х) = —(1 — лг2)1 /2; р\ (cos 0) = —sin 0;
P2 (*) = —ЗЛГ (1 —дг2) I/2; pi ^cqs Qj _ —з sjp 0 cOS 0.
Р\ (л:) =3 (1 —Xй)-, Р\ (cos 0) =3 sin2 0.
7. Сферические функции
Нормированные сферические функции К/т(0,<р) определяются следующим выражением*:
УIm (Э. ф)
=Vr-¦
V 4л
(I—т) I
Pf (cos 0)
(П.4)
(/ + от)!
Из уравнения (П.4) видно, что
Yli-m(Q,q>) = (-l)mYi„l(Q,q>),
где Yfm—функция, комплексно сопряженная функции Yim.
Сферические функции обладают свойством ортонормированности:
2Л і
5 5 Ylm (0>Ф) Yr т' (0,ф) d cOS0d<p = о -I
= б//' б mm' •
Система сферических функций полна, т. е. если функция / (0,ф) разлагается в ряд
L I
/(в.ф) = 2 2 /Im YIm (0> ф) >
I =Om=-I
Рис. П.1. Система координат, используемая в теореме сложения сферических функций.
то справедливо равенство
где
2л I
flm= ^ ^ f (0,ф) Yim (0,Ф) d cos 0d(p,
О —I
L I
Iim 2 2 //тУ/т(в,ф)=/(0,ф).
L-*°° I = 0 т= —I
Этот предел будет достигнут для любой подходящей функции f, (0, <р), в частности для I (0, ф), непрерывной и ограниченной в области — I < cos 0 с 1, 0 < ср -?. 2л [10J.
* Следует отметить, что в некоторых книгах сферические функции определяются как решения уравнения Лапласа в сферических координатах. Такое определение отличается от данного уравнением (П.4) множителем гт, где г — радиальная координата, а функции Ylm называются поверхностными сферическими функциями. Как было указано в предыдущей сноске, выбор знака функции не является универсальным для всех авторов.
476
Если функция ft (0, ф) кусочно-непрерывна, то в точке разрыва предел будет стремиться к среднему значению функции слева и справа от точки разрыва. Отметим, что в разложении f (0, ф) вместо Yim могут быть использованы действительные функции Р“ (cos 0) cos тф и Pj” (cos 0) sin тф.
Для сферических функций справедлива теорема сложения. Пусть две точки P и P', расположенные на поверхности сферы единичным радиусом, имеют угловые координаты (0, ф) и (0', ф'), как показано на рис. П.1, и пусть Y — угол между радиус-векторами P и P'. Тогда угловые координаты связаны соотношением
cos Y = COs 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos (ф—ф').
Теорема сложения утверждает, что справедливо равенство
4д *
Р/( COSY) =^-TJ 2d (в'.ф') К/т (Є,ф).
т.= — I
Используя определение Yim, данное уравнением (П.4), формула теоремы сложения может быть преобразована к виду
Pi (cos у) =Pi (cos 0) Pi (cos 0') +2 V pT (C0S pT (c0s 0') C0S fm (Ф—ф')Ь
JM1 (1 + т)\
Более подробную информацию о специальных функциях можно найти, например, в работах [7, 10, 11].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lighthill М. J. Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions. Cambridge University Press, 1958.
2. Dirac P. A. M. Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press, 4th ed., 1958, p. 58.
3. Handbook of Mathematical Functions. M. Abramowitz and I. Stegun, eds. Dover Publications, Inc., 1965, p. 225.
4. Cm. [3], p. 310.
5. De Hoffmann F., Case K- M. and Placzek G. Introduction to the Theorey of Neutron Diffusion. vol. I. USAEC Report, 1953, Appendix A.
6. Cm. [3], p. 245.
7. Courant R. and Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Interscience Publishers, Inc., vol. I, 1953, Chap. 2. (Cm. на русском языке: Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. М. — JI., Гостехиздат, 1951.)
8. Dennery P. and Krzywicki A. Mathematics for Physicists. Harper and Row, Publishers,
1967, Chap. III.
9. Jahnke E. and Emde F. Tables of Functions. Dover Publications, Ins., 1945. (Cm. на русском языке: Янке E.' и Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. М., Физ-матгиз, 1959.)
10. Hobson Е. W. Theory of Ellipsoidal and Spherical Harmonics. Chelsea Publishing Co., 1955, p. 344. (Cm. на русском языке: Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М., Изд-во иностр. лит., 1952.)
11. Whittaker Е. Т. and Watson G. N. A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press, 1946, Chap. XV. (Cm. на русском языке: Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. М., Физматгиз, 1963.)
