Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Гамма-функция
Гамма-функция Г (*) определяется интегралом
OO
Г (лг) = [ tx~ ‘ехр (-t)dt
о
472
при условии, что действительная часть х положительна. Гамма-функция удовлетворяет рекуррентной формуле
Г {х + 1) = лгГ (*).
Можно показать, что Г (1) = 1; Г (1/2) = "|/я.
Для целочисленных аргументов справедливо равенство
Г( п + I) = 1 • 2 • ... • п = л!
Таблицы гамма-функции приведены в работе [3].
3. Функция ошибок
Функция ошибок erf (х) определяется интегралом
2 с
erf (*) = —у— \ ехр (—иг) du.
' ^ Л
При увеличении X от нуля до бесконечности erf (*) монотонно возрастает от нуля до единицы. Функция ошибок может быть представлена в виде ряда
2 / X3 хь х"1 \
erf (*) = —rr=r I X — --- + ----- — -----+ ... I
V-П \ 3-11 5-2! 7-3! J
или в асимптотическом виде для больших X
ехр (—X2) ( 1 1-3 1-3-5 \
ег (х) ~ 1— ху- — 2х2 + (2^, — (2^3 + ... J -
Функция ошибок затабулирована в работе [4J.
4. Интегральные показательные функции En (•*")
Интегральная показательная функция Еп(х) для целых положительных п и действительных положительных х определяется интегралом
OO
En (х) = J ехр (—дси) и~п du.
I
Этот интеграл может быть преобразован к следующим формам:
1
I
о
En (х) = J ехр (— лг/(л) и" 2 d\i =
=Xn 1J ехр(—и) и п du.
При п = О интегрирование можно провести аналитически:
X
При п = 1
J5l w= Jsatі
X
473
Функцию — Ei (—де) часто также называют интегральной показательной функцией. Для показательных функций справедливы рекуррентные соотношения:
OO
?п(*) = J ?n-i(*') dx'\
X
dEn (jc) J
dx
?71 (JC) = —— [exp (— x)— JcEn-X (JC)] при л>1. (П.1)
TL — 1
Уравнение (П.1) показывает, что все интегральные показательные функции могут быть выражены через E1 (де). Однако при решении задач о переносе нейтронов удобно пользоваться табулированными функциями En (де) [5, 6] для я = 2, 3, 4.
При небольших х функции En (х) можно представить в виде ряда
“ /___Х\ГП Xn ~ 1
?»(*)=>—77------------------ + (-1*",----—(1пх-Ап + У) при л > О,
^ т \ (п — 1—т) (я— 1)!
т — О '
т T^ri-1
п- і
где у = 0,577216 — постоянная Эйлера, A1= I, a An = У---------Из этого представления
т= I т
видно, что при х -> 0, все En (де) для я > 2 стремятся к конечной величине, а именно En (O) = 11(п—1). Функция E1 (х) при х 0, стремится к бесконечности логарифмическим образом.
Для больших х интегральные показательные функции En (де) можно представить асимптотическим рядом
п ч ехр (— JC) Г, я . л(л + 1) я(я + 1)(л + 2) . 1
?„(*)»-------------+ -- +...j.
5. Полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра могут быть определены следующими уравнениями:
Po W = 1;
I dn
рп(х)=^Г~:—{х*—1)п для Л = 1, 2, ... (П.2)
2 л! dx11
Они также могут быть определены как единственная (с точностью до нормировки) система ортогональных полиномов на интервале —I < де < 1, таких, что л есть высшая степень Jc в полиноме Pn (jc). Полиномы Лежандра удовлетворяют соотношению ортогональности
S dx=IrijfT'
— і 1
где Ьтп — символ Кронекера, равный 1 при т = п и нулю во всех остальных случаях. Первые полиномы Лежандра имеют вид
P0(Jc) = I; Pi(JC)=JC-,
PtW= Y (З*2-1): P3(Jc) = у (5jc3-3jc).
Для полиномов Лежандра справедливы рекуррентные формулы:
JcPn(JC)= 2п[(л+ 1) Р„+1 (JC)+ лР,г-1 (jc)]:
dPn
(х*-\)-?=п(хРп-Рп-1).
Полиномы Лежандра образуют полную систему ортогональных функций 17,8], которую можно использовать для разложения в ряд некоторой функции ft (де), определенной
-H
на интервале —1 < де < I. В частности, если fj(x) —действительна, и интеграл J- \f,(x) 12dx
— 1
474
существует и ограничен, то при разложении ft (*) в ряд по полиномам Лежандра
где
справедливо равенство
N
f (X) Si 2 f п Pn (¦*)>
п = О
U =
+ і Iim j
N ~ оо — 1
2п+ 1
— 1
f(x)
N
2 fn Pn (х)
п = 0
dx = 0.
Это уравнение означает стремление к нулю среднеквадратического отклонения приближенного представления функции от точной функции при бесконечном увеличении числа членов ряда. Если ft (х) — кусочно-непрерывная функция [7], то справедливо следующее равенство:
N
!im fnPn (x)=f (х),
н-*°° „=о
(П.З)
1
если ft (х) непрерывна В точке X, ИЛИ предел стремится К Y Ui (х + 0) + ft (х — О)], если ft (х)
разрывна в точке х, но имеет конечные пределы ft (х + 0) и ft (х — 0), определяемые при подходе к точке X с разных сторон..
Интересно заметить, что уравнение (П.З) может быть переписано следующим образом:
+1
If(X)=Zi z1zYl S f(x')Pn(x')Pn(x)dx'
п=0 — 1
и преобразовано к форме
с . /. 2л +1
8 (х-х )-2, —
Pu (Xі) Pn(X).
п= О
Таким образом, дельта-функция может быть использована для доказательства полноты системы полиномов Лежандра.
При разложении потока нейтронов по полиномам Лежандра Pn (ц,), если в уравнениях нет дельта-функций, описывающих анизотропные источники, следует ожидать сходимости этого разложения в соответствии с уравнением (П.З), причем в плоской геометрии возможен разрыв при ц,= 0 (см. разд. 3 51).
