Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
х + 5
2х+1
лежит выше графика функции <р(х) — j5x-3 ?
2.171. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у — -(х-2)3,у-х/3,у-0.
cos Зх
2.172. Решите уравнение ^ х — віпЗх - 2sinx.
2.173. Множество точек комплексной плоскости определяется условием Jz- 3 — 4i] < 1. В каких пределах изменяется Im г : Re z?
2.174. Найдите все значения параметра а, при которых система
^Og2(Ay + 4о - 3) - 1 + log2(a - х)9 У - Jx
имеет решение.
Вариант 30
2.175. Найдите промежутки монотонности функции
у - 0,75х4 + 2х* - 28,Ox2 - 60х - Л
2.176. При каких значениях аргумента график функции g{x) »
-і
х + 7
Зх+5
лежит ниже графика функции f(x) — Jx + А ?
-2.177. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у - (3 - X)3. у - 0,5х, у • 0.
120
sin Зх
2.178. Решите уравнение с^ х — cos Зх + 2 cos х.
2.179. Множество точек комплексной плоскости определяется условием |z + 4 - 3*] < 1. В каких пределах изменяется Re z : Im z?
2.180. Найдите все значения параметра Ь, при которых система
1 + log2(o- 2- у) - log2(o- х), У +. 2-Ух - 1
имеет решение.
Вариант 31
2.181. Найдите сумму таких чисел Z9 что z4 — J3 - L Укажите одно из этих чисел.
2.182. Решите уравнение Jcob 2t-3sin 2t — cos t.
2.183. Решите неравенство 2х* 51/х > 10.
2.184. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — х2-4х + 4и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.
2.185. Найдите все такие числа а, для каждого из которых су-ществует только одно число Ъ такое, что Ь (Ъ + о) 1.
2.186. Какие значения может принимать сумма чисел х и у, если Ы - (* - 2X4 - х)?
Вариант 32
2.187. Найдите сумму всех таких чисел z, что z4 — 1 - tjs. Укажите одно из этих чисел.
2.188. Решите уравнение JlSsui 2u»-cos 2и — sin и.
2.189. Решите неравенство 3х- 21/х < 6.
2.190. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком фун-
" кции у — х2 + бх + 9 и касательными к этому графику, HpOXO7 дящими через начало координат. ,
2.191. Найдите все такие числа Ь, для каждого из которых существует ровно три различных числа а таких, что а\Ъ + о2) — t.
2.192. Какие значення может принимать разность чисел у и х, если Ы - -4х(х + 2)?
121
РЕШЕНИЯ, КОММЕНТАРИИ
И СОВЕТЫ
Вариант 1
2.001. Решите уравнение 4сов Зх + Зсоз х — 0.
^ Воспользуемся формулой косинуса тройного угча:
cos Зх — 4сOs3X - 3cos х.
9
ПОЛУЧИМ 1бС083Х - 9с08х — О, ИЛИ 16 СОВ X(COS2X - Jg ) — О.
а 9 1 + cos 2х 9 Выражение cos X — Jg преобразуем к виду -^- -Jg-
8cos 2х-1
—--, в результате чего уравнение распадется на два:
cos X — О и 8cos 2х - 1 — О, откуда х — ^ + uk или х —
— ±2arccosg + т* k9 п є Z,
Ответ: 2 + яя; * ? arccosg + im; k9 п є Z.
Замечание. Данное уравнение можно было решать без использования необязательной для запоминания формулы косинуса тройного угла. Переписав уравнение в виде (4coe Sx + 4coe х) - cos jc-O9 легко перейти к уравнению 8cos х соз 2Jc — сое х 0, а затем получить сое х — 0 или 8соэ 2х — 1 и, наконец, решить эти уравнения.
2.002. Составьте уравнение касательной к графику функции у — — е2х~ 1C-Ar2 + бис - 3) в точке ее максимума.
^ Заданная функция определена и дифференцируема при всех действительных х. Для нахождения точки максимума функции вычислим нули ее производной. Имеем:
(е2*- г(-2х2 + 6х- 3))' - е2*- !(2(-2*2 + 6х- 3)-4х + 6) -
- 2Є2* - H-Zx2 + 4х), или у'--1х(х- 2)*2*"
у' — О при X — О и при X = 2.
Если X < О, то у' < О — функция убывает; если О < х < 2, то у' > 0 — функция возрастает; если х > 2, то у' < О — функция убывает. Таким образом, х — О — точка минимума» х — 2 — точка максимума.
»
122
Уравнение касательной к графику функции в точке ее максимума имеет вид у — z/(2), поскольку угловой коэффициент касательной равен нулю. Учитывая, что у(2) — в3, запишем искомое уравнение: у е3.
Ответ: у — е3.
2jc +1
2.003. Решите уравнение (3 - 2g)'logI/34jc + ? - |2* - 3|.
^ Множитель 3 - 2х обращается в нуль при х — log23. При
2х+1
этом значении х (оно положительно) дробь ^x+ і положительна; следовательно, левая часть уравнения определена, а число log23 является его корнем. Найдем остальные корни уравнения.
Рассмотрим два случая.
1) X > 1Og2S. Тогда выражение под знаком модуля в правой части уравнения положительно. После деления обеих частей уравнения на отличное от нуля выражение 3 - 2х получим
2x1-1 2х + 1
logV34x + 7 откУДа 4х~Г7 ™ 3» или 2х + 1 ™ 12х + 21в
или X ~ -2, что не удовлетворяет неравенству х > 1Og2S.
Таким образом, первый случай не дает решений исходного уравнения.
2) X < log23. Тогда выражение под знаком модуля в правой части уравнения отрицательно. Разделив обе части уравне-
« V , 2х+1 2х+1 1
ния на 3- 2х, получим log1/34jt + 7 — 1, откуда +7 — g , или
4х + 7 - бх + 3, или X - 2. Так как 2 - log42 > log32, то х - 2 также не является корнем исходного уравнения.
Ответ: log23.
2.004. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у -
1 -1
~*2 + 2*+1 И*~4х + 7-
в
¦fr Найдем абсциссы общих точек графиков заданных фун-
1 -1 о л
