Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
л/12 + X - 2 > Jx + 2 перенесем 2 в правую часть и возведем его
обе части в квадрат: 12 + х>х + 2 + 4 Jx + 2 + 4. Поскольку обе части предыдущего неравенства неотрицательны, новое неравенство ему равносильно.
Далее преобразуем неравенство к виду Jx+ 2 < 1,5, откуда О < X + 2 < 2,25, или -2 < X < 0,25. Учитывая ограничение х > -2, получим окончательный ответ: —2 < х < 0,25.
Ответ:-2 < X < 0,25.
2.053. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — - X2 - 2лс, у - -4х - 1 и у - 4д: - 9.
¦Ф Найдем абсциссы общих точек для каждой пары графиков. Для точки Л пересечения линий у — X2— 2х и у — -4х - 1 имеем: X2- 2х =-4х- 1; (х + I)2 ¦= О; х —-1. Для точки В пересечения линий у - X2- 2х и у *=» 4х-9 получим: х2- 2х - 4х- 9; (х-3)2- О, X в 3.
Заметим, что в обоих случаях прямые являются касательными к параболе у — х2 — 2х, так как имеют с ней по единственной общей точке. Учтем также, что парабола обращена выпуклостью вниз, а значит, любая касательная к ней лежит не выше, чем сама парабола. Абсцисса "точки С пересечения прямых у = —4х -1иі/ = 4х—9 определяется из условия —4х - 1 = 4х - 9 и
142
равна 1, т. е. она больше абсциссы точки А, но меньше абсциссы точки В.
Учитывая сделанные замечания, вычислим искомую площадь так:
1 3
J((x2-2x)-(-4x-l)) dx + J((x2-2x)-(4x-9)) dx -
-1 1
і з
3
1
(*-З)3 + —~—
і і
'8 \ f ( 8\> 16
-1
3
- (M-M-S)) - T
Ответ: 16/3.
Замечание. 1. Сделав рисунок, нетрудно установить, что заданная фигура симметрична относительно прямой х — 1. Учитывая это, иско-
з
мук» площадь можно вычислить как 2J((jt2,- Zx) - {4х - 9)) dx.
і
2. Сразу выполним замену переменной: t = х - 1 и рассмотрим заданную фигуру в системе координат tOy. (С геометрической точки зрения это преобразование означает сдвиг фигуры не единицу влево, либо, что то же самое, сдвиг оси ординат на единицу вправо.) Понятно, что площадь фигуры инвариантна относительно такого преобразования. Линии,
ограничивающие фигуру, задаются формулами у = t2 - 1, у ** —At - 5 и у -= 4t - 5. Здесь симметрию можно обнаружить и без рисунка.
2.054. Для каждого а > — 1 найдите наибольшее значение функции у = X3 - 12х на отрезке [-1; о].
Функция у = X3 - 12х определена и дифференцируема на
Д; ее производная у' — Зх2 - 12 обращается в нуль при х — -2 и при X — 2, положительна при х < -2 и при х > 2, отрицательна при -2 < X < 2. Таким образом, в промежутках -2] и [2; +°°) функция возрастает, а в промежутке [-2; 2] функция убывает; х = 2 — точка минимума.
Нас интересует поведение функции при х >-1. Так как в этом промежутке у функции нет точек максимума, то наиболь-
о
шее значение на отрезке [-1; а] функция у = х — 12х может принимать только на концах этого отрезка, т. е. при х => — 1 Или при X в а.
Найдем значения а, при которых max у достигается в
L-Le]
точке X а. Для этого решим неравенство у(а) > у(-1)- Имеем:
а3- 12а X-I)3- 12-(-1); а3 + 1 > 12(а -f 1); (а + 1)(а2 - а + 1) > 12(а + 1); (а + 1)(а2 - а- 11) > О.
Учитывая, что а + 1 положительно, получим а2 - а - 11 > О, откуда а < (1 - 3jb)/2 (это противоречит неравенству а > -I),
143
либо а > (1 + 3 Jb )/2. Очевидно, что при всех остальных значениях а из числа допустимых выполняется неравенство у(а) < < и наибольшее значение функции на отрезке [-1; а]
достигается при х = -1. Находим у(а) ™ а3 - 12а; у(-1) — 11.
Ответ: если-1 < а < (1 + 3jb)/29 то max у = 11;
[-1;в]
если а > (1 + 3./5)/2, то max у - а3- 12а.
[-1*1
Вариант 11
2.061. Решите уравнение 27х - 3 • 18х - 12х + 3 • 23х - 0.
Представив исходное уравнение в виде 33х - 3 • 32х • 2х -
- 3х • 22х + 3 • 23* — 0, заметим, что его левая час гь является однородным многочленом третьей степени от двух переменных
а - 3х и Ъ = 2х (а3 - За2Ь - ab2 + ЗЬ3). Разделим обе части урав-
нения на неравное нулю 2 и получим равносильное уравне-
/Sf * ґЗ\2х ґЗ\х /3\*
ниє I 2 I - 3 • I 2 I - I 2 j +3 = 0. Полагая I ї> J B t9 имеем
3*2- t + 3 - 0, или (t- ЗХ*2- 1) = 0. Так как t > 0, то tx - 1, *2 я 3, т. е. — 3 или e 1- Отсюда находим X1 — 0,
Ответ: 0; log163.
cos х + sin де
2.062. Решите уравнение ~~~:—oi_ — ctg х. Укажите его решения, для которых выполняется неравенство COS X sin X > 0.
¦Ф I способ. По условию, sin X * 0. Тогда, разделив на sin х числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части, имеем
Ctg Х4 1
равносильное уравнение с^ х—J — ctg х. Полагая ctg х = t,
после преобразований получим f2 — 2г- 1 ¦» 0, т. е. J1^ =1=1= л/2 их = arcctg(l ± ^ ) + ла, A є Z.
Если cos х sin х > 0, то и ctg х > 0, т. е. условию cos х sin х > > 0 удовлетворяют X = arcctg(l + */2 ) + nfe, A є Z.
П с по с о б. Перепишем данное уравнение в виде
JU cos IT - X^
" = ctg х9 т. е. ctgl^-xj — ctg х. Из условия ра-
J2 sin^-xj
144
венства котангенсов следует, что
л
X — - - X 4- ЛП,
4
X * TUt9
откуда X
л тел
g + ^ \ k9 п Z-
• л теп Л „
Ответ: X = g + у, ле Z. Из них условию
л
cos X sin X > 0 удовлетворяют X — g + Kk9 к € Z. Замечание. При различных способах решения ответы имеют непохожий вид, и не каждый увидит, например, что arcctg(l + J2) — g .
