Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 34

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 56 >> Следующая

Исследуем изменение знаков выражения ein х (cos х -4- 0,5).
Ecл» О < х < 2л /3, то и віп х, и cos х + 0,6 положительны, поэтому их произведение также положительно. При переходе через точку 2л/3 sin х не меняет знак, a coax + 0,5 меняет, значит, их произведение на интервале (2л/3; л) имеет знак минус.
Проводя аналогичные рассуждения, расставляем знаки на дуге BD («+») и на дуге DA (•-»)• Знаку •<» соответствуют точки дуг CB и ZM, включая точки Л, В, С и D. т. е. значения x из промежутков [2л/3; л] и [4л/3; 2л]. Учитывая периодичность решения тригонометрического неравенства, оконча-
2л 4л
тельно получим ["з* "+ 2лА; к + 2nft] u + 2nk; 2л + 2лА],
k є Z. Полагая для второго промежутка п — It + 1, запишем его 2к
в виде {- "g" + 2лп; 2лп].

Ответ: D(y) — {"о* 2nki к + 2ла] и
2%
Sj [-"д" + 2лп; 2кл]; R9 пє Z.
Замечание. Казалось бы, удобнее выбрать промежуток [0; 2л) вместо (0; 2л]. Однако такой выбор привел бы к записи ответа в виде {O) и и [2л/3; л] и [4л/3; 2л). Приведенное в тексте решение позволило ес-
127
тественным образом получить ответ в виде объединения двух числовых отрезков.
2.017* Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам J2 < |(1 - і\г - і| < 2 J2 .
¦fr Іспособ. Представим число z как х + ty. Тогда
(1 - *)z- * = (X + Iy)(I - 0- * - (х + у) + (у-х-№
К* + у) + (у- х- I)4 - Л* + у)2 + (у-*-1? -- л/2х2 + 2у2 + 2х-2у + 1.
По условию, J2 < ^2х2 + 2у2 + 2х - 2у +1 < 2л/1, откуда 2 < 2*2 + 2у2 + 2х- 2у + 1 < 8; 1 < х2 + х + у2-у + 0,5 < 4;
К (X + 0,б)2 + (у- 0,5)2 < 4.
Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке uf(-0,5; 0,5) и радиусом 1. Правая часть задает круг с центром в точке К и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рис. 2.3.
Ответ: открытое кольцо, ограниченное окружностями
с центром (-1/2; 1/2) и радиусами 1 и 2. П с п о с о б. Пусть w — (1 - i)z - U Тогда
Рис. 2.3
128
Комплексным числам, имеющим одинаковые модули, соответствуют точки плоскости, лежащие на окружности с центром в начале координат, поэтому неравенству JU < \w\ < 2j2 удовлетворяют все точки открытого кольца, ограниченного окружностями с общим центром в начале координат и радиусами J2 и 2-/2 (рис 2.4). Пусть некоторая точка комплексной
14 і
ПЛОСКОСТИ СООТВеТСТВуеТ ЧИСЛУ Wq. ЧИСЛО Wi = Wq* ? ""
JU к к г
— Wq - ~2 (cos4 + ' SU1 4 ) имеет модуль, в J2 раз меньший модуля Wq9 и аргумент, на к /4 больший аргумента ш0. С геометрической точки зрения точку, соответствующую Wi9 можно получить, используя гомотетию с центром в начале координат и
коэффициентом 1/ J2 , а также поворот относительно начала координат на угол л/4 против часовой стрелки. В результате применения этих двух преобразований к точкам кольца (рис. 2.4) последнее перейдет в кольцо, ограниченное окружностями с тем же общим центром и радиусами 1 и 2 (рис. 2.5).
1 і
Преобразование W1 —> W1 - ^ +2 реализуется с помощью
параллельного переноса на вектор (-0,5; 0,5). Перенеся кольцо с центром в точке (0; U) на указанный вектор, получим кольцо такого же размера с центром в точке (-0,5; 0,5) (см. рис. 2.3).
S Змс. H 234 129
I
Рис. 2.5
*
Предложенный способ, использующий идею геометрических преобразований плоскости, наверное, менее удобен в описании, но весьма изящен и эффективен.
2.018. Найдите все действительные решения системы уравнений
X3-у3
26,
- ху2 = 6.
I с п о с о б. Преобразуем левые части уравнений: х3 - у3 =
- (X - у) (X2 + *ху + у2) = (х-у) ((X - у)2 + Зху) = (X - у)3 + 3(X -
- у)ху; х2у — ху2 = (х — у)ху. Введем новые переменные а = х — у, Ь ¦» ху и получим следующую систему:
[ а3 + ЗаЬ - 26, аЬ =¦ 6.
Подставив второе уравнение системы в первое, находим а3 — 8, откуда а я 2, Ь — 3. Теперь имеем систему
*-у = 2, ху = 3,
или
X = 2 + у, у(2 + у) - 3.
Отсюда получим = 1, X1 = 3; у2 = ~3, х^ = -1.
Ответ: (3; 1), (-1;-3).
130
II способ. Полагая и «¦ -у, сведем систему к симметрической:
*
х3 + ц8 - 26, X2U + хи2 - -6.
Далее, с помощью замены а — х + и, b — хи перейдем к системе
а* - Sab = 26, или ab —6,
а3-8,
ab « -6.
Из последних соотношений находим а — 2, Ь — -3. Используя утверждение, обратное теореме Виета, составляем
уравнение *2 - 2t — 3 ™ О, имеющее корни 3 и —1. Запишем две пары (х; к): (3; -1) и (-1; 3), откуда получаются две пары (х; у): (3; 1)и(-1;~?).
Ш способ. Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 3: X3- у3- Зх2у + Зху2 - 8, или (х- у)3 - 8, откуда х - у -— 2. Затем подставляем это соотношение во второе уравнение и т. д. (см. I способ).
IV способ. Умножим первое уравнение на 3 и сложим его
со вторым, умноженным на (-13). Получим Зх* — 13х2у +
+ 13ху2 — Зу3 — О — однородное уравнение третьей степени. Так как у = О не входит ни в одну из пар, являющихся решениями исходной системы, то разделим обе части полученного
уравнения на у . Далее, полагая х/у = г, перейдем к кубическому уравнению относительно t:
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed