Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
Найдем координаты точек PhQ. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением у + х — 7. Решим систему
j X + у - 7, 1 jc2 + у2 - 25.
Так как де2 + у2 — (дс + у)2 - 2ху9 то перейдем к системе
X + у- 7, ху-12-
Уравнение f2- 7t + 12 — 0 имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам PhQ соответствуют числа 3 + 42 и 4 + 31.
Ответ: 3 + At и 4 + Si.
185
II с її о соб. Пусть г = х + iy. Тогда х2 + у2 — 25 (см. I способ);
Jz- 7[ - |(х- 7) + ui] - л/(*-7)2 + у2 - V*2 + y2-14x+49 -
- V74-14x;
|z_ Yi] - |х + (у - 7)ij - л/х2+ U/-7)2 - Jx2 + y2-14y + 49 -
- */74-14у.
Найдем пары (х; у), для которых достигается минимум функции ф(х; у) - 774 -14х + V74 - 14у при условии х2 + у2 « 25. Поскольку функция <р(х; у) принимает неотрицательные значения при всех допустимых X и у, вместо минимума функции ф можно рассматривать минимум функции
I <Р2(*; У) - 74 - 7(х + у) + -У(74-14х)(74-14у).
Преобразуем последнее выражение к виду 148 - 14(х + у) + + 2л/5476 - 74 • 14(х + у) + 196ху ; так как х2 + у2 - (х + у)2 --2ху, то 2ху - (X + у)2 - (х2 + у2) = (х + у)2 - 25, откуда
|ф2(х; у) - 74- 7(х + у)і + ^98(х + у)2-74 • 14(х + у) + 3026 .
Произведем замену t e 7(х + у) и найдем значения г, для которых достигается минимум функции g{t) «=* 74 - t +
+ ^2t2 148t+ 3026 , или fi(t) - 37 + (37-1) + ^2(і-37)2 + 288 , или после замены р =¦ t — 37 — те значения р, при которых минимально выражение 37 - р + V2p2 + 288 .
Исследуем функцию f{p) «= 37 - р + 7?)2 +¦ 288 с помощью
2р
производной- Имеем / (р) в і = - 1; /'(р) = 0, если
Jr 2
2р + 288
2 + 288 « 2р, т. е. если 2р2 + 288 - 4р2, а р > 0. Последнее равенство выполняется при р ¦= 12.
Нетрудно убедиться в том, что если р < 12, то f'{p) < 0, т. е. fip) убывает, а если р > 12, то /'(р) > 0, т. е. /(р) возрастает. При р 12 функция /(р) принимаеі наименьшее значение.
Значению р — 12 соответствует t -> 49, или х + у * 7.
Отсюда, учитывая соотношение х2 + у2 — 25, находим х = 3, ^ — 4 или X — 4, у — 3 и получаем окончательный ответ.
Замечание. Конечно, II способ более трудоемкий, но вместе с тем и Золее универсальный. В частности, если бы иа отрезке AB не нашлось ни одной точки, удовлетворяющей заданному в условии равенству, то решение I способом было бы вообще невозможно.
136
-/
Рис. 2.8
Вариант 7
2.037. Решите уравнение Зсозх - 4sinx — 5.
¦ф Разделив обе части исходного уравнения на 5 и воспользовавшись формулой вспомогательного угла, приведем уравнение к виду cos (ф + х) =* 1, где ф ж arccos 0,6. Отсюда получим jc = -ф + + 2яА, к є Z.
Ответ: -arccos 0,6 + 2nk9 AeZ.
S
2.038. Решите неравенство 1Og1^8(X0 - Xе - 5 г) < -1.
¦Ф Приведем левую часть неравенства к виду -1Og3(X3 - х2 - 5х)
и запишем равносильное неравенство 1Og3(X3- х2 - 5х) > 1. Так как основание логарифма больше единицы, то последнее неравенство равносильно неравенству х3 - х2 - 5х > 3. Заметим, что при этом условие существования логарифма выполняется автоматически.
Решим неравенство х3 - х2 - 5х - 3 > О, для чего разложим
на множители многочлен Р(х) — х3 - х2 - бх - 3. Замечаем, что одним из корней этого многочлена является -1. Йоэтому справедливо разложение X3 - X2 - 5х - 3 — (х + I)(X2 - 2х - 3) =• (х +
+ 1)2(х - 3). Для решения неравенства (х + 1)2(х - 3) > О воспользуемся методом интервалов* Схема изменения знаков изображена на рис. 2.8, а ответом является множество {-1} Kj [3; -h»).
Ответ: {-I] u[3; +<»).
2.039. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями х\у\ - I1 у - ?, у — -е, X — О, а также отрезком прямой л: — 1 при —\<у<\.
¦Ф Изобразим заданную фигуру на координатной плоскости уОх (ось Oy направлена вправо, ось Ox — вверх, рис. 2.9). Так как фигура ABCDEF симметрична относительно оси Ох, то ее площадь вдвое больше площади фигуры OKCDE9 которая в свою очередь составлена из квадрата' KCLO и криволинейной трапеции LCDE. Площадь квадрата равна 1, а площадь LCDE
е
вычислим так: J— — 1пу|* — 1. Таким образом, площадь фи-
1
гуры OKCDE равна 2, а искомая площадь равна 4.
Ответ: 4.
137
Рис. 2.9 <
2.040. Найдите все действительные значения параметра а, при ко-
з
X
торых график функции у — а + 9х — Tj" касается оси абсцисс.
¦fr Очевидно, что прямая у — 0 при искомых значениях параметра является касательной к графику заданной функции, причем значение производной функции в точке касания должно быть равно нулю.
Найдем абсциссы точек касания. Имеем у' — 9- х2; у' — 0 при X — 3 и X — -3. Если X =- 3, то уравнение касательной к графику функции имеет вид у — а + 18 и совпадает с уравнением у — 0 при а — -18. Если же х « -3, то соответственно получаем у - а- 18 и а ~ 18.
Ответ:-18; 18.
2.041. Изобразите множество точек г комплексной плоскости, удовлет-
* 2
воряющих условию Im=—~ > 1.
Z-I
Представим г * виде де + fc/ и преобразуем заданную дробь: -
2 2 2 2((X-I)-Hy)
г_-1 * x-iy-1
138
" " ((*-1)-ЦО((*-1) + Ц0
2(x-l) + 2fy
~ (х-1)2 + у2 "
2у
Мнимая часть дроби равна -o 5. Неравенство
<г-іГ + іГ
