Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 10

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 56 >> Следующая

1.369. Найдите общие точки прямой у - 2х + 9 — Ои графика функции у — Jx -4.
1.370. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у — X2 и у — 2х - X2.
1.371. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у — X 4- с"х на отрезке [-In 4; In 2].
1.372. Укажите все первообразные функции / (х) — 5 + 2х -
- Зх2, графики которых имеют с графиком функции / (х) ровно две общие точки.
38
РЕШЕНИЯ, КОММЕНТАРИИ
И СОВЕТЫ
Вариант 1
1.001. Решите неравенство х2 (2х + 1) (х- 3) > 0.
¦Ф Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим
функцию / (х) — X2 (2х + 1) (х — 3). Она непрерывна при всех действительных X и обращается в нуль в точках 0, -0,5 и 3. Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка. Определим знак функции в каждом из них: / (5) > О, f (1) < 0, / (-0,1) < 0, / (-2) > 0 (рис.1.1).
Ответ: (-«;-0,5] и {0} и [3; -гоо).
1.002. Упростите выражение cos (2л — Зх) сое х + sin Зх сое + X^.
Укажите множество значений х, при которых значение данного выражения равно (—1/2).
шф Используя формулы приведения, перепишем данное выражение в виде соэ Зх cos х + віп Зх віл х, что по формуле
1
косинуса разности равно cos 2х. Решив уравнение cos х « —т>,
4
К
находим X и ± g + nkv he Z.
Ответ: cos 2x; {±? + itk | teZ}.
1.003. Решите систему уравнений
f log3x + log3y = 1.
1 V2'8
¦Ф Преобразуем первое уравнение к виду log3 (ху) — 1. При атом необходимо учесть, что х > 0 и у > 0. (На самом деле доста-
-0,5 0
Рис. 1.1
39
точно одні го условия, например х > О. В этом случае если определено выражение log3 (xy)» то определен и log3 у, и приобрести посторонние решения невозможно.) Из уравнения log3 (ху) °- 1 получим ху — 3.
Логарифмируя обе части второго уравнения системы по основанию 3, придем к уравнению х - у — 2. Решим систему
Выразив X через у из второго уравнения и подставив это
УІУ + 2) = 3,
выражение в первое, получим ^ _ + ^ Корнями квадрат-
ного уравнения у2 + 2у — 3 — О являются числа 1 и -3. Получаем две пары: у — 1,х—Зиу — —3, х — —1. Для чисел второй пары условие X > О не выполняется, поэтому пара (—1; -3) решением исходной системы не является.
Ответ: (3; 1).
1.004. Решите уравнение {х2- 9) (j6-bx - х) - 0.
^ Произведение двух сомножителей равно нулю, когда один из них равен нулю, а другой при этом определен.
Выражение X2 — 9 обращается в нуль при х — -3 и при
X «> 3. Если X — -3, то J6 - Ьх определен; если же х — 3, то не
определен. Таким образом, х — —3 является корнем исходного уравнения.
Далее решим уравнение л/6 - бх « х. Возведем в квадрат
обе его части при условии х > 0. Получим 6 - бх — х2, откуда
XI — 1, X2 ™ -6. Значение X2 не удовлетворяет условию х > 0 и не
является корнем иррационального уравнения J6 — бх -> х.
Итак, решениями исходного уравнения являются числа 1 и-3.
Ответ: 1;-3.
1.005. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции / (у) — —jc2 + 4 параллельно прямой у — -2х + 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, этой касательной и осью ординат.
^ Составим уравнение касательной. Так как касательная параллельна прямой у — ~2х + 6, то ее угловой коэффициент равен —2. С другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Абсциссу точки касания Xq определим из условия /'(Xq) — -2.
Поскольку /'(х) — -2х, находим X0 — 1. Уравнение касательной
к графику функции / (х) в его точке с абсциссой Xq имеет вид
у = /'(Xq) (х - X0) + / (X0)- Подставляя конкретные значения в
эту формулу, получим уравнение у — б - 2х.
40
Для вычисления площади заданной фигуры отметим, что
любая касательная к параболе у *= -х2 + 4 лежит не ниже самой параболы. Пределами интегрирования являются числа 1 (абсцисса точки касания) и О (поскольку фигура ограничена осью ординат). Имеем
S = J((5-2x)-(-x2 + 4)) dx = J(x-l)2dx =
Ответ: у - 5- 2х; S - 1/3.
1.006. Исследуйте функцию у — X4 - 2 X2 + 3 с помощью производной.
Определите, при каких значениях а уравнение х4 - 2Х2 + 3 — а имеет три корня.
^ Функция у — х4 - 2х2 + 3 определена и дифференцируема
при всех действительных х; у' - 4*3 - 4* - 4х(х - IX* + 1). Критическими точками функции являются нули ее производной, т. е. точки -1, 0 и 1. Исследование функции на монотонность представим в виде таблицы:
х (^;-D {-1} (-1; 0) {0} (0; 1) {1}
у' — 0 + 0 — 0
У 2 3 M 2
(1; +«) +
Анализируя эту таблицу, отметим, что в точках -J и 1 функция имеет минимумы, равные 2, а в точке 0 — максимум, равный 3.
Из особенностей функции отметим ее четность: действительно, у (-ж) - (-X)4 - 2(-х)2 + 3 « X4 - 2х2 + 3 - у (х), а также отсутствие у функции нулей.
Для определения значений а, при которых уравнение х4 -
- 2х2 + 3 — а имеет три корня, воспользуемся четностью функции. Если число X0 является корнем уравнения, то ЧИСЛО -Xq также является его корнем. Таким образом, для- каждого положительного корня уравнения найдется пара — противоположное ему число, отрицательный корень. Посколько согласно условию уравнение должно иметь ровно три корня, одним из корней будет число, противоположное которому совпадает с ним самим, т. е. 0. Число 0 является корнем при а — 3. Отметим, что только при этом значении параметра а заданное уравнение имеет нечетное количество корней. Убедимся, что их ровно три.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 56 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed