Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 13

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 56 >> Следующая

48
Рис. 1.4
II способ. Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для положитель-
1600
ных величин а и Ь ™ —Z • Имеем п\а + —~— J >
1600
1600^
1600
- Jl600 - 40, или а +
> 80, причем равенство, а вначит,
и минимум выражения а +
1600
а
1600
достигается при равенстве
слагаемых, т. е. при условии а — - Итак, а — 40.
Ответ: все стороны^паяны 40 м.
40
1.041. Дана функция f (jc) — a sin 4jc + Ъ cos2x. Найдите а и Ь, если известно, что /'(7л/12) - 4 и Г(Зя/4) - 2.
¦ф Найдем производную функции / (jc): /'(jc) = 4а cos 4jc - 26 *
7я 7я 7я
X sin 2jc. При jc — J2 имеем f (jc) =- 4а cos "g" - 26 sin ~g" —
-4а- 2 - 26
j — 2а + о. При jc — ~р имеем /'(*) *= 4а cos Зя-Зя
- 26 sin у - 4а •("1)-26-(-1)- -4а + 26.
Используя данные в условии значения производной функции / (jc) в точках 7я/12 и Зя/4, получим систему уравне-
f 2а + \-4а +
6 = 4,
ний { л - * 2b = 2 ^ P61116HHeM является пара чисел а - 0,75, 6 - 2,5.
Ответ: а — 0,75, 6 - 2,5.
1.042.' Фигура ограничена линиями у — 2х2 и у — 4х. Найдите длину наибольшего отрезка, параллельного оси Oy и заключенного внутри фигуры.
вф Отрезок, о котором говорится в условии задачи» параллелен оси Oy9 поэтому все точки этого отрезка имеют одинаковые абсциссы. Обозначим абсциссу каждой точки отрезка CB через р (см. рис. 1.4); тогда ордината точки С равна 4р, а ордината
точки В равна 2р2. Длина отрезка ВС равна |4р - 2р2|, или 4р -
- 2р2 (поскольку для точек заданной фигуры ордината точки С больше ординаты точки В). Заметим также, что для точек этой фигуры выполнено неравенство 0 < р < 2.
Задача сводится к отысканию наибольшего значения
квадратного трехчлена 4р - 2р2 в интервале (0; 2). Наибольшее
2 -4
значение на A выражение 4р - 2р принимает при р ~ 2(-2) 9
т. е. при р — 1. Так как 1 є (0; 2), то максимальное значение
квадратного трехчлена 4р - 2р2 в промежутке (0; 2) также достигается при р — 1. Оно равно 2 и равно длине наибольшего отрезка, параллельного* оси Oy и заключенного внутри фигуры-
Ответ: 2.
Вариант 9
1.049. Решите неравенство 0,6* " бх > 1.
¦t Функция у = 0,6* является убывающей при всех действительных t. Используя это, заменим исходное неравенство рав-
о
носильным ему неравенством х - Ъх < О, решениями которого являются все Jc из промежутка [О; 5].
Ответ: [О; 5].
50
SJg
1.050. Вычислите log1/2 16 -logg 25 ї otoe»2.
^ Используя свойства логарифмов, имеем: 1Og1^2 16 — -4;
8^5 j 15
1о*5 25 " 31°? 5- Iog5 25 - 3 - 2 - -3; ^2- 32іоЄа 2 _
— 3 1о*з 4 = 4. Окончательно получаем -4- = 4 — |.
Ответ: 5/3.
1.051. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и — 9х2-6х + 1. У - О, X - О.
^ Квадратичную функцию у — Ox2 - 6х + 1 удобно записать
в виде у — (Зх - I)2. Ее график касается оси абсцисс в точке (1/3; О). Площадь искомой фигуры (рис. 1.5) вычислим так:
1/3
J (Зх-1): О
з 3
8
1/8
О
-4-і)-1-
Ответ: 1/9.
1.052. Решите уравнение 16 sin2x + 2 cos х — 11 и укажите его корни, удовлетворяющие условию sin X < О.
¦fr Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, приведем данное уравнение к виду -16 сов2х + 2 cos х + 5 — O1 т. е. к квадратному уравнению относительно cos х. Решив его, на-
Рис. 1.5
61
5 1 5
ходим cos х — g или cos X — ~2 откуда * — ± arccos g + 2ял,
ft є 5?, или зс — ±"g- + 2лт, т е Z-
Среди найденных решений отберем все, удовлет-
5
воряющие неравенству sin jc < О. Числам arccos g + 2nk соответствует точка I четверти единичной окружности, а для таких
5
точек sin jc > О. Числам - arccos g + 2nk соответствует точка
IV четверти, и для всех таких точек sin jc < О.
2л 2л
Точки, отвечающие числам у + 2лтп и—~g" + 2nm, лежат
соответственно во П и в Ш четвертях, и неравенству sin jc < О удовлетворяют числа второй из этих серий.
Итак, условию sin х < О удовлетворяют следующие корни
5 2л
исходного уравнения: -arccosg + 2nk и — ~д~ +2лт; ft, т € Z.
5 2л
Ответ: ±arccosg + 2яй, и + 2лт; ft, го є Z;
из них условию sin jc < О удовлетворяют1
5 2я
-arccosg + 2nk и--д- + 2лт; ft, го є Z.
1.053. При каком значении а функция у — а\пх + х2-х имеет экстремум в точке X — 1? Определите вид экстремума в точке х — 1 при найденном значении а.
Функция y«=alnx + x2-x определена и дифференцируема при всех положительных jc. Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции в некоторой точке является равенство нулю ее производной в этой точке.
а
Производная данной функции равна ~ + 2х- 1. Из уело- .
вия равенства ее нулю при х = 1 находим а - -1. Таким обра-
1 2х2 - jc -1 2(jc-I)(jc+ 0,5) зом, у = 2JC-1-- ---- =- -~-- Если
О < X < 1, то у' < О и функция убывает; если же х > 1, то yf > О и функция возрастает. При х *= 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в точке х = 1 функция имеет минимум.
Ответ: при а =»-1; в точке х = 1 — минимум функции.
1.054. Исследуйте функцию у - х Jtx +1 с помощью производной и, используя результаты исследования, укажите множество значении этой функции.
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 56 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed