Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
cos 105° cos 5е + sin 105 cos 85 -- -sin 15е cos 5* + cos 15е sin 5* - sin (5 - 15°)--sin 10; sin 95е cos 5- - cos 95" sin 185е - cos25e - (-sin б") - cos 10\
-sin 10° . 1По Второе выражение равно CQ3 10° "lg AU *
Поскольку ctg 40е > 0, a -tg 10е < 0, значение первого
выражения больше.
Ответ: значение первого выражения больше.
1.074. Найдите промежутки возрастания функция у - д X8 - 2*2 - 8х + 4. 58
¦fr Заданная функция дифференцируема на A. Находим у' — — х2 - 4х - 8. Для определения промежутков возрастания функции решим неравенство у' > О. Имеем х2 - 4х — 8 > 0, если
je < 2 - 2 *У§ или X > 2 + 2 V§ - При этих значениях функция является возрастающей; поскольку функция непрерывна при
всех действительных X9 числа 2-2-Уз и 2 + 2 J3 также включаются в промежутки возрастания.
Итак, (-«; 2 - 2-УЗ] и [2 + 2j3; +~) — промежутки возрастания данной функции.
Ответ: (-«; 2- 2-УЗ] и [2 + 2 Js; +~).
1.075. Решите уравнение х + 4 + Jx +А — 12.
¦
¦fr Решим данное уравнение с помощью замены переменной * — Jx +А - Относительно новой переменной t уравнение примет вид t2 + г - 12 — О, откуда — -4, *2 = 3- Вернемся к переменной х: уравнение Jx+ А — —4 не имеет корней, а из уравнения Jx +А — 3 получаем х + 4 — 9, т. е. х — 5.
Ответ: 5.
1.076. Найдите натуральные значения х, удовлетворяющие системе неравенств
>32,
(У
log4(x-б)2 < 1.
¦fr Решим каждое неравенство в отдельности.
Для первого из них справедливы равносильные преобра-
/IV 2jc+1
зования: h) > 32'> 2**~ 1 > 2х~ 1 > 5; х > 3.
Второе неравенство выполняется при одновременном осу-
ществлении двух условий: (х - 6) > О и (х - 6) < 4, первое из которых выражает условие существования логарифма, а второе следует из свойств логарифмической функции по основанию, большему 1.
Неравенство (х - 5)2 > О выполняется при всех х, не равных
6. Неравенство (х - б)2 < 4 перепишем в виде (х - б)2 - 22 < 0, или (х - 8) (х - 4) < О, откуда 4 < х < 8. Таким образом, решениями
неравенства log4(x - б)2 < 1 являются все значения х из промежутков [4; 6) и (6; 8].
Изобразим решения каждого из двух неравенств исходной системы на общей оси (рис. 1.7). Решение системы — множество [4; 6) \j (6; 8], Элементами этого множества являются четыре натуральных числа: 4, 5, 7 и 8.
Ответ: A9 5, 7, 8.
59
I
Рис. 1.7
1.077. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
1 2
у ~ Xе + 1 и касательными, проведенными к втому графику в точках пересечения его с осью абсцисс.
1 9
Абсциссы точек касания определим из уравнения - ? хг +
+ 1=0; они равны 2 и -2. График функции 1 сим-
метричен относительно оси Oy, касательные к графику проведены через точки, симметричные относительно этой оси, а значит, касательная, проведенная к графику в его точке с абсциссой 2, симметрична касательной, проведенной к графику в его точке с абсциссой -2. Таким образом, фигура, ограниченная параболой и двумя касательными к ней, симметрична относительно оси ординат.
Воспользуемся этим свойством фигуры для вычисления е площади. Искомая площадь в 2 раза больше площади фи-
гуры, ограниченной параболой у — х + 1, касательной к
ней в ее точке с абсциссой 2 и осью Oy.
Запишем уравнение касательной. Имеем у'(х) — -0,5х; у\2) — -1. Так как угловой коэффициент касательной равен -1 и касательная проходит через точку (2; 0), то ее уравнение имеет вид у — 2 — х.
Вычислим искомую площадь:
2 2
2j<(2- X)-{-\х2 + 1)) dx - 2J(Jx2- X + 1) dx -
.|/„-2)^.l?^f -0-(-1)-1
О
о
2
0
Ответ: 4/3,
1.078. Сколько корней имеет уравнение Зх2 - х8 -»о при 0 < а < 4?
^ После замены а на -а получается задача, в точности сов* падающая с задачей 1.018. Поэтому решение данной задачи мы не приводим.
Ответ: три корня.
60
Вариант 15
1.085. Вычислите S (log212 - log2S + 31°?8)0'6 ]* б.
¦Ф Преобразуем выражение, стоящее в скобках:
log212 - log23 + 310«»8 - log2y +8-10. Далее имеем: 100*55 - Jb ; Jb • Jb - 5.
Ответ: б.
1.086. Решите уравнение Jz sin х cos х =~ sin2* в укажите два корня, которые меньше п.
¦Ф Перепишем уравнение в виде sin х (JU cos х - sin jc) = 0, откуда либо sin х — 0, либо ^/3 cos х — sin jc. Из первого уравнения получаем jc — лл, л є Z9 из второго находим tg jc — JS 9 х -= я
— 3 + яд, Л € Z. Среди корней, меньших я, укажем, например, я
Ои д.
я
Ответ: ял, з + кА; Л, л € Z; 0 и я/3 — два корня, меньшие я.
1.087. Найдите область определения функции у —
- 2
_ а _ jc ¦Ф I способ. Заданная функция определена, если ~т>- > 0.
jc -4
Для решения этого неравенства применим метод интервалов.
2
jc
Областью определения функции / (jc) = ~^- является вся
jc -4
числовая прямая за исключением нулей знаменателя, т. е. точек -2 и 2. Функция / (jc) непрерывна в каждой точке области определения и обращается в нуль при jc ** 0. Точки -2, 0 и 2 разбивают числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых функция знакопостоянна. Учитывая, что / (3) — / (-3) > 0, а / (1) — / (-1) < 0, расставляем знаки (рис. 1.8). Поскольку неравенство нестрогое, значение jc -» 0 ему также удовлетворяет.
