Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
По-видимому, многие ряды, которые можно считать стационарными, удовлетворяют требованию такого типа. Возможно, это свойство объясняется тем, что с течением времени ряды подвергаются случайным возмущениям, не связанным с их предысторией, и эти случайные толчки в конечном счете формируют основное содержание процессов.
Выдвинутое здесь требование к временному ряду — обладать слабой „памятью" —обычно именуется условием перемешивания. [Rosenblatt (1956b).]
1.4. Исторический обзор
Основной инструмент, который мы будем использовать при анализе временных рядов,—это конечное преобразование Фурье отрезка временного ряда, доступного наблюдениям.
Для отыскания скрытых периодичностей Stokes (1879) предложил подвергать преобразованию Фурье эмпирически найденные функции. Желая избежать неудобств, связанных с рассмотрением относительных фаз, Schuster (1894, 1897, 1900, 1906 а, Ь) предложил рассматривать квадрат модуля конечного преобразования Фурье. Он назвал эту статистику периодограммой, поскольку занимался и исследованием скрытых периодичностей.
Рассмотрение периодограмм для общих стационарных процессов было начато Слуцким (1929, 1934). Он выявил многие статистические свойства периодограмм, налагая условия нормальности и определенные условия перемешивания. Одновременно с ним Wiener (1930) предложил очень общую схему гармонического анализа временных рядов и начал изучение векторных процессов.
Впоследствии изучение скрытых периодичностей уступило место другому, гораздо более важному приложению гармонического анализа, который стал применяться для изучения зависимостей между временными рядами [Wiener (1949), Press, Tukey (1956)]. Важной статистикой в этом случае является кросс-периодограмма— произведение конечных преобразований Фурье двух рядов. Она используется в работах Wiener (1930), Goodman (1957), а сам термин появился в работе Whittle (1953).
Периодограмма и кросс-периодограмма являются статистиками второго порядка и поэтому они особенно важны при рассмотрении гауссовских процессов. Аналогичные статистики более высокого порядка требуются для изучения различных свойств негаус-совских рядов. Периодограмма третьего порядка — произведение трех конечных преобразований Фурье — введена в работе Rosenblatt, Van Ness (1965), а периодограмма k-vo порядка — произведение k конечных преобразований Фурье —в работах Brillinger, Rosenblatt (1967 а, Ь).
Неустойчивость статистик типа периодограмм немедленно проявляется, как только они вычисляются по эмпирическим функциям, см. Kendall (1946). Wold (1965) и гл. 5 настоящей книги. Наличие такой нестабильности и заставило Даниеля [Daniell (1946)] предложить численное сглаживание периодограммы, которое теперь стало основным приемом частотного анализа.
Важную роль в истории развития математических основ гармонического анализа временных рядов сыграли следующие статьи и книги: Слуцкий (1929), Wiener (1930), Хинчин (1934), WoId (1938), Колмогоров (1941а, b), Cramer (1942), Blanc-Lapi-ere, Fortet (1953), Grenander (1951а).
Список статей и книг, игравших важную роль в истории развития эмпирического гармонического анализа временных рядов, включает работы: Schuster (1894, 1898), Tukey (1949), Bartlett (1948), Blackman, Tukey (1958), Grenander, Rosenblatt (1957), Bartlett (1966), Hannan (1960), Stumpff (1937), Chapman, Bartels (1951).
Книга Wold (1965) содержит библиографию статей по анализу временных рядов. Burkhardt (1904) и Wiener (1938) дают обзор очень ранних работ в этой области. Simpson (1966) и Robinson (1967) приводят много полезных при анализе временных рядов программ для ЭВМ.
1.5. Применение частотного анализа
Настоящий параграф содержит краткий обзор некоторых областей, в которых применялся спектральный анализ. Имеются три главных аргумента в пользу его применения: (I) спектральный анализ позволяет получить полезные описательные статистики, (II) служит орудием диагностики, указывая, какой дальнейший анализ может быть полезен, и (III) применяется для проверки постулируемых теоретических моделей. Степень успеха, который достигается при использовании этой техники, по-видимому, прямо пропорциональна длине отрезка ряда, доступного для анализа.
Физика. Если под спектральным анализом понимать изучение индивидуальных частотных компонент интересующих нас временных рядов, то можно считать, что первое серьезное применение этой техники состоялось в 1664 г., когда Ньютон расщепил солнечный свет на отдельные компоненты, пропустив его через призму. Из этого эксперимента вырос предмет спектроскопии [Meggers (1946), McGucken (1970), Kuhn (1962)], в которой изучается распределение энергии поля излучения как функция частоты. В дальнейшем эта функция будет называться спектром мощности. Физики применяли спектроскопию для распознавания химических элементов, для определения направления и скорости движения небесных тел и для проверки общей теории относительности. Спектр является важной характеристикой цвета [Wright (1958)].
Частотный анализ света подробно обсуждается в книге Born, Wolfe (1959); см. также Schuster (1904), Wiener (1953), Jenni-son (1961), Sears (1949).
