Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
CUm(F1H-Z1, ...,FrH-Zr) = CUm(F1, Kr)H-CUm(Z1, ...,Zr);
(2.3.3)
(vii) cum Yj = EKy для / = 1, ..., г,
(viii) cum (Yj9 Yj) = DKy для / = 1, ..., г;
(ix) cum(Ky, K^) = COV(Fy, Yk) для /, &= 1, ..., г.
l) В отечественной литературе более распространен термин „семиинварианты", который мы также используем в настоящем издании.—Прим. перев.
Кумулянты, являющиеся полезной мерой статистической зависимости случайных величин (см. (Hi) выше), представляют собой средство определения интересующих нас параметров, а также удобный аппарат для доказательства теорем. Кумулянты часто называют семиинвариантами, они рассматривались в работах: Dressel (1940), Kendall, Stuart (1958), Леонов и Ширяев (1959).
Стандартная нормально распределенная величина имеет характеристическую функцию ехр{—t2/2\. Из теоремы 2.3.1 следует, что ее кумулянты порядка выше 2 равны 0. Из (Hi) вытекает также, что все совместные кумулянты набора независимых величин равны нулю. Многомерная нормально распределенная величина определяется как вектор, компоненты которого являются линейными комбинациями независимых нормальных величин. Согласно (і) и (vi), все кумулянты порядка выше 2 равны нулю и для многомерного нормального распределения.
Нам часто придется использовать совместные кумулянты полиномиальных функций от случайных величин. Прежде чем привести выражения для совместных кумулянтов таких величин, введем некоторые обозначения, восходящие к работе Леонов, Ширяев (1959). Рассмотрим (необязательно прямоугольную) таблицу
(1, 1)...(1, J1)
(2.3.4)
(//1)...(////)
и разбиение P1U^2U ... UPm множества ее элементов. Мы скажем, что принадлежащие разбиению множества Рт>, Рт» зацепляются, если существуют (іг, J1)^Pm' и (i2, /2) ? Рт», такие, что ix = i2. Будем говорить, что Рт' и Рт» сообщаются, если существует ПОСЛедОВатеЛЬНОСТЬ МНОЖеСТВ Pmx^Pm', Pm2, • • • > Pm^ = An",
такая, что Ртп и Ртп+Л зацепляются для я= 1,2, . ..,/V —1. Разбиение называется неразложимым, если все множества Рт сообщаются. Пусть R1, ...,/?/ обозначают строки табл. 2.3.4. Разбиение P1, Pm является неразложимым тогда и только тогда, когда не существует множеств Pmi, ...? Рт (N < M) и строк Rt1, ..., Ri0 (0 < /), таких, что
Pm1 U... U P.N~ Rt1 U... U Rt.. (2.3.5)
Следующая лемма дает критерий неразложимости разбиений.
Лемма 2.3.1. Рассмотрим разбиение P1,..., Pm, M > L, табл. 2.3А. Для элементов таблицы г{j и заданных чисел sm, / = = 1, ..., J{, і= 1, ..., /, m= 1, .. .,М, положим Ф (г{j) = sm, если
(і* І) G Pт. Разбиение неразложимо тогда и только тогда, когда все элементы множества {sm—Sn*; 1 ^m, т' ^ M] являются сум-мами и разностями величин Ф{гі;-)—Ф(>"//3)> l^/i> Jt* і = I9 ...,/. Возможна и альтернативная формулировка. По набору чисел ti9 i=l9 определим функцию l|)(r/;.) = ti9 /=1,...
Jt\ / = 1, ...,/. Разбиение неразложимо тогда и только тогда, когда сложение и вычитание чисел "ф(г^) —г|>(/>/')'» (і, /), (ї\ j')€Pm> tn=\9 ..., M9 порождает все элементы множества \tt — tr\ 1<і\ *'</}.
Заметим, что множество {tt — U*\ 1 ^л, ї ^1} порождается I — 1 независимыми разностями, такими, как tx—1/9 ..., /7.х—1?. Отсюда следует, что в случае неразложимого разбиения можно найти 7—1 независимых разностей среди ф (r//) — i|> (/>/')'» (*» /)» {V9 /')€Л.; m=l, ...9М.
Теорема 2.3.2. Рассмотрим набор случайных величин Х{/9 J=I9 •.., J(9 1 = 1, ..., /. Введем I случайных величин
Yt = T[XtJ9 * = 1, ...,/. (2.3.6)
Тогда совместный кумулянт CUm(K1, ..., Y1) задается формулой 2 cum (X17; ij € V1)... cum (X if; ij € v„), (2.3.7)
V
где суммирование ведется no всем неразложимым разбиениям V = V1 U ... UVp табл. 2.3А.
Эта теорема представляет собой частный случай результата, полученного Леоновым и Ширяевым (1959).
Коротко упомянем один из примеров использования этой теоремы. Пусть (X1, X4) — 4-компонентный нормальный вектор. Его кумулянты порядка выше 2 будут равны нулю. Допустим, нас интересует COvIX1X2JX3X4}. Доказательство теоремы 2.3.2 показывает, что
cov {X1X2, X3X4} = cov {X1, X3} cov {X2X4}
+ cov {X1, X4} cov {X2, X3}. (2.3.8)
Это выражение получил Isserlis (1918).
Закончим этот параграф определением, которое обобщает определения функции среднего значения и автоковариационной функции, приведенные в § 2.2. Для векторного временного ряда X(t)9 ^ = 0, ±1, с компонентами Xa(t)9 а=1, ...,г, E I Ха (t) \k < оо положим
cai...ak(t19 ...,/*) = cum {X^1(Z1), •..,Xah(th)}=cXai...xait(tl, ...,**),
(2.3.9)
где а19 ..., ак= I9 ..., г и flf ..., ^ = O, ±1, ... . Эта функция будет называться совместной кумулянтной функцией порядка k ряда X (Jt)9 * = 0, ±1, ....
2.4. Стационарность
Временной ряд X(O, * = 0, ±1, ...,с г компонентами называется стационарным в строгом смысле, если все семейство его конечномерных распределений инвариантно по отношению к общему сдвигу временного аргумента или, другими словами, если совместное распределение Xai(t1 + t)9 ...9 Xa(tk + t) не
зависит от t для всех t9ti9 ..., tk = 0, ±1, ...Ha1, ..., яА=1,...
