Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
2 = Rez + nmz. (2.1.1).
Будем обозначать через \z\ модуль числа г, равный [(Reг)2 + (Imz)2]1/2, и через argz его аргумент, т. е. tgarg г= Imг/Rez.
Для действительных чисел я, у будем писать
X = у (mod а), (2.1.2)
если при делении X—у на' а получается целое число.
В дальнейшем окажутся полезными следующие функции: дельта-функция Кронекера, определяемая равенствами
1, если а = О,
б{а} = < Л (2.1.3)
1 ' {0 в противном случае, v 1
и „гребень" Кронекера
1, если а == 0 (mod 2я),
11 ' в противном случае. 4 '
Столь же полезны будут следующие обобщенные функции: дельта-функция Дирака 6(a), —со<а<со, обладающая свойством
OO
Jf (а) б (а) da = f (0) (2.1.5)
— оо
для всех функций / (а), непрерывных в нуле, и „гребень" Дирака
со
T1(GC)= 2 б(а —2ji/)f -оо<а<оо, (2.1.6)
/=-со
для которого
С /(а) л И da= |) /(2я/) (2Л.7)
-со /=-»
при всех допустимых функциях / (а). Эти Функции рассматривают Lighthill (1958), Papoulis (1962), Edwards (1967). В упр. 1.7.4 показано, что функции E-1W(E-1O,) при малых є аппроксимируют дельта-функцию Дирака.
2.2. Стохастические процессы
Иногда имеет смысл считать конкретный r-компонентный векторный временной ряд X (t) элементом набора векторных временных рядов, который возникает из некоторой случайной схемы. Мы можем обозначить такой набор рядов через {X(^, 0),0^0 и * = 0, ±1, ...}, где 0—случайная величина, принимающая значения в множестве 6. Если X(I, 6) окажется измеримой функцией 0, то Х(/, 0) при каждом t является случайной величиной, и можно говорить о конечномерных распределениях. Они задаются следующим образом:
Fa1.....ак • • - , Хк\ tl9. . . , tk) - P {Xa1 (MXx11, • • . Xak(th, 0)<ХА},
а19 ...9ак=\9 ...,r, ?-1,2..... (2.2.1)
Можно затем рассмотреть такие функционалы, как
EX, (*, 0) = J XdFа(х-1) = св (0, (2.2.2)
DXe (*, 0) = S [x-ce (*)№ (*; 0 = свв С 0. (2-2.3) cov {Xa (Z1; в), Xb(tt9B)} =
= \l[Xi—ca(t1)][x2-cb(t2)]dFab(x11x2\ tl9 *я)=*
= cab (t19 t2) для a, b = 1, ..., г, ^ (2.2.4)
если выписанные интегралы существуют. Каждому значению, которое (в соответствии со своим вероятностным распределением) принимает 0, соответствует функция Х(/, 0) с фиксированным 0; она будет именоваться реализацией, траекторией или выборочной функцией временного ряда.
Поскольку, вообще говоря, необязательно включать 0 специальным аргументом в Х(/, 0), мы будем далее писать X (/) вместо Х(/, 0). Функция X(t) будет называться временным рядом, случайным процессом или случайной функцией.
Интересующийся читатель может найти изложение основ вероятностной теории временных рядов в книгах: Cramer, Leadbet-ter (1967), Яглом (1952) или Doob (1953). Функция ca(t), определенная равенством (2.2.2), называется функцией среднего для временного ряда Xa(t). Функция caa(tl9 t2)9 определенная согласно (2.2.4), называется (авто)ковариационной функцией Xa(t)9 и функция cab(tl9 t2)9 введенная в (2.2.4), называется кросс-ковариационной функцией Xa(t) и Xb(t). Функция ca(t) существует тогда и только тогда, когда Е|Ха(0|<°°- По неравенству Шварца
I саЬ (t19 t2) |2 < саа (t1911) cbb (t2, tt)9 (2.2.5)
и cab(t19 t2) существует, если caa(tl9 tx)9 cbb(t29 t2)<oo. Функция
Рае Cl. *2) = Саа(*1> ^)/{(смЦ19 Qcaa(t29 ^2)}1/2
называется (авто)корреляционной функцией Xa(t).. Наконец,
РаЛ*1> t2)=Cab(t19 t2)l{caa(tl9 tz)Gbb(t19 І2)УІ*
называется кросс-корреляционной функцией Xa(t^) и Xb(t2). Говорят, что ряды Xa(t) и Xb(t) ортогональны, если
Саь(*1> U) =0 ДЛЯ ВСЄХ tl9 t2.
2,3. Кумулянты1*
Рассмотрим теперь случайный вектор (F1, ..., Yr) с действительными или комплексными компонентами Yp для которого E|Fy|'<oo, / = 1, ...,г.
Определение 2.3.1. Совместный кумулянт r-го порядка cum (F1, ..., Yr) вектора (Y19 ..., Yr) задается формулой:
cum (Y1,..., Y,) = 2(-1V-*(р-I)I(E ( Д F/)).. . (Е( TJ
76V(2.3.1)
где суммирование ведется по всем разбиениям (V1, ..., V7,), р = 1,... ..., г9 множества (X9 ..., г).
В важном частном случае Fy = F, /=1, ..,,г, приведенное определение задает кумулянт r-го порядка одномерной случайной величины F.
Теорема 2.3.1. Кумулянт CUm(F1, ...9Yr) является коэффи-
/ п \
циентом HpU(IYt1.. Лг в разложении функции logf E exp i^Yjtjj в ряд Тейлора в окрестности начала координат.
Утверждение этой теоремы иногда принимается за определение CUm(F1, Yr). Перечислим ряд свойств кумулянтов:
(i) cum Ia1Y19 ..., a/rYr) = ^.. .ar cum (F1, ..., Yr) для всех постоянных а19 ..., аг\
(ii) cum (F1, ..., Yr)—симметричная функция своих аргументов; (ііі)еслй некоторая группа величин из F1, Yr независима
от остальных величин в наборе, то CUm(F1, Fr) = 0;
(iv) cum(K1+ ?, F2, ...,Fr) = CUm(F1, ...9Yr) + cum(Z1,F2, ... ..., Y1) для случайных величин (Z1, F1, ..., Fr);
(v) для постоянной \i и г = 2, 3, ...
CUm(F1 + ^, F2, ...,Fr) = CUm(F^F2, ...,F,); (2.3.2)
(vi) если случайные величины (F1, ..., Y1) и (Z1, ..., Zr) независимы, то
