Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
• . ., Y9 k = 1, 2, ... .
Примерами строго стационарных рядов служат г-компонент-ный ряд е(0> t = 09 ±1, состоящий из независимых одинаково распределенных векторов, а также ряд, который является детерминированной функцией от таких величин:
X(*) = f[e(0, е(/-1), z(t+\)9 ...], t = 09 ±1, ... . (2.4.1)
Другие примеры строго стационарных рядов встретятся позднее.
В этом параграфе, как и на протяжении всей книги, аргумент временного ряда будет принимать значения t = 09 ±1, ... . Заметим, что если / — любой конечный отрезок в последовательности целых чисел, то временной ряд X(O, t?l9 являющийся строго стационарным на /, может быть расширен до строго стационарного ряда, определенного на всех целых числах. (Стационарное расширение ряда, определенного и стационарного на конечном интервале, рассматривается в работе Parthasarathy, Varadhan (1964)). С точки зрения практики важно, чтобы исследуемые временные ряды являлись приблизительно стационарными в период времени наблюдения.
Векторный ряд X(O, / = 0, ±1, имеющий г компонент, называется стационарным второго порядка или стационарным в широком смысле, если
ca(t) = EXa(t) = ca9
Саь (t + U9 0 = COV {Ха (t + U), Xb (0} = СаЪ (U)
для I9 и = 0, ±1, ... и а9 b= 1, ..., г.
Отметим, что этим свойством обладают строго стационарные ряды с конечными вторыми моментами.
Иногда ковариационная функция ряда, стационарного в широком смысле, записывается в несимметричной форме:
cab(t)=cab(t90)^cabit + u9u)9 U = O9 ±1, ... . (2.4.2)
Обозначим rxr-матричную функцию с элементами саЬ(и) через ?хх{и) и назовем ее автоковариационной функцией ряда Х(/), t = О, ±1, ... . Если мы распространим определение ковариа-ции на случайные векторы X, Y, полагая
cov {X, Y} = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]4, (2.4.3)
тогда можно определить автоковариационную функцию ряда, стационарного в широком смысле, формулой
схх (и) = cov {X (* + U)1 X (t)\ ' (2.4.4)
для ty U = O1 ±1, ... .
Если векторный временной ряд X(O, t = 09 ±1, строго
стационарен и E | Xj (t) \k <оо, / = 1, г, то
Ca1.....ak(ti + U, tk + u)=Cait ...,ak(tlt .-.,**) (2.4.5)
для t19 tk1 U = O1 ±1, ... . В этом случае мы будем использовать и несимметричную запись, подчеркивающую зависимость от меньшего числа переменных:
Ca1.....ak (t19 . . . , tk_i) = Са„ ak Q19 • . ., th_±9 0). (2.4.6)
Указанное предположение о конечности моментов не приведет к потере общности рассмотрения, поскольку на практике все доступные анализу временные ряды являются ограниченными, т. е. I Xj (О I < С, / = 1, ..., T1 для некоторой конечной постоянной С и, таким образом, существуют моменты всех порядков.
2.5. Спектр второго порядка
Предположим, что ряд X(O, t = 0, ±1, является стационарным, и, как говорилось в § 1.3, зависимость его членов мала в том смысле, что Xa(t) и Xb(t + u) становятся все менее зависимыми при І I —5- оо для a, b=\t г. Разумно потребовать, чтобы
со
2 Кб(")|<°° Для а, b=l.....г. (2.5.1)
U = - СО
В таком случае мы определим спектр второго порядка рядов Ха (t) и Хь (t) как функцию
со
Ы*) = ^)-1 2 cab(u)exp{-iXu\
U=-со
для — оо< Я < оо, а, Ь= 1, г. (2.5.2)
При условии (2.5.1) функция fab(k) ограничена и равномерно непрерывна. Если компоненты ряда X (t) действительны, то значит
fab ft) ЧаЬ (- *) = ha (~ *) =7ba (*)• (2*5.3)
Из выражения (2.5.2) также видно, что fab (к) как функция к имеет период 2л. ^
Действительный параметр к, появляющийся в (2.5.2), называется радианной или угловой частотой в единицу времени, либо просто частотой. Если Ь = а, то faa(k) называется спектром мощности ряда Xa(t) на частоте X..Если Ъфа, то /аЬ(Л) называется кросс-спектром рядов Хв (О и Xb (t) на частоте к. Заметим, что если с вероятностью единица Xa(t) = Xb(t), t = 0, ±1, ..., то кросс-спектр /вЬ (X) в действительности является спектром мощности faa(k). Re /аЬ (X) и Im/eb(A.) называются соответственно коспектром и квадратурным спектром. Функция ФаЬ (k)=avgfab(k) носит название фазы спектра, а | /flb (k) | называется амплитудой спектра.
Пусть автоковариационные функции саЬ(и), и = 0, ±1,..., объединены в одну матричную функцию схх(и), и = 0, ±1, имеющую саЬ(и) элементом, стоящим на пересечении а-й строки и Ь-го столбца. Допустим также, что спектральные функции второго порядка fab (X)9 — оо<Х<оо, объединены в одну матричную функцию ixx(k), — оо<Х<оо, таким же образом, как это описано выше для схх(и). Тогда определение (2.5.2) может быть переписано в виде
со
= (2д)-1 2 схх (и) ехр {—iku} для —оо<Х<оо. (2.5.4)
«= - со
Матричная г X r-функция (X), — оо < к < оо, называется матрицей спектральной плотности ряда X (t), t = 0, ±1, . При условии (2.5.1) соотношение (2.5.4) можно обратить и получить представление
я
схх(и) = J ехР hx (tydk для w = 0, ±1, ... . (2.5.5)
Теорема 2.5.1 покажет нам, что матрица ixx(k) эрмитова и неотрицательно определенная, т. е. txx(ty=txx(tyx vLoFlxxitya^O для всех векторов а с г комплексными компонентами.
