Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
лишь указать, какие два из пяти лигандов являются аксиальными для того,
чтобы полностью описать изомер. Легко видеть, что реакционный граф Г в
данном случае является как раз графом Петерсена, помеченным так, как
показано на рис. 5, причем вершина ij соответствует изомеру с аксиальными
лигандами L, и Ly. Поскольку граф Петерсена - это дополнение линейного
графа Ь(К5), из теоремы (разд. 2) следует, что aut Г изоморфен aut К5 и
является симметрической группой S5.
3.2. ПРИМЕР 2: 1,2-СДВИГИ В КАРБОНИЕВЫХ ИОНАХ
Балабан и сотр. [1] изучили перегруппировки иона, показанного на рис. 10;
одна из групп Ri смещается от одного углеродного атома к соседнему,
несущему положительный заряд. Один из возможных сдвигов показан на рис.
10, но вместо этой группы R3 могут смещаться или R4, или R5.
Мы упростим диаграмму, изобразив ее в виде графа, в котором пять вершин
перенумерованы (рис. 11). Будем предполагать как возможность свободного
вращения вокруг связей, так и то, что атомы углерода неразличимы. Это
эквивалентно Использованию группы S3 х S2 всех автоморфизмов графа,
показанного на рис. 11,
294
Г. Джонс, Э. Ллойд
РИС 11
-•1
для определения эквивалентности меток. Разметка полностью определена,
поскольку мы указываем, какие две метки присвоены двум концевым вершинам
на единичном расстоянии от трехвалентной вершины. Для реакционного графа
мы вновь получаем граф Петерсена (помеченный, как показано на рис. 5).
3.3. ПРИМЕР з- 1,2-СДВИГИ В ГОМОТЕТРАЭДРАНИЛЬНЫХ КАТИОНАХ
В другой своей статье Балабан [10] рассмотрел 1,2-сдвиги в гомо-
тетраэдранильном катионе (СН)+ (рис. 12). Мы уже изображали
соответствующий граф (см. рис. 1) и обсуждали его группу симметрии в
разд. 2. При действии этой группы вершины разделяются на три типа; на
рис. 13 мы указали эти типы цифрами ф, фиф. При 1,2-сдвиге одна из вершин
типа ф(2 или 3) обменивается ролями с вершиной 1 типа ф; по-видимому,
механизм, по которому это прр-исходит, является таким, что ребро,
например 24 (связывающее вершину типа ф с вершиной типа ф), вращается
около своего конца типа (5) и тем самым соединяет 4 с 1 (это показано
стрелкой и пунктирным ребром на рис. 13). Полученный граф изоморфен
исходно-
н
2
+
Н
3
РИС 12.
РИС 13
Группы автоморфизмов химических графов 295
РИС 14 Граф Гл
му, поэтому тот же самый окончательный результат мог бы быть получен при
использовании соответствующей перестановки меток [такой, как (12)(35)].
Для графа, изображенного на рис. 13, Балабан использовал обозначение
1,45, указывающее вершину типа ф и вершины типа(r). Рандич [4] стал бы
использовать обозначение 1123145 (в действительности он использовал буквы
a\bc\de, а не цифры), но мы предпочтем обозначение 1123, которое
указывает вершины типа фи типа(r). Сдвиг, показанный на рис. 13, превращает
1123 в 2115, но существуют три других возможных выбора ребер для сдвига,
приводящих соответственно к 2114, 3114 и 3115. В нашем обозначении
правило соединения вершин в реакционном графе следующее: i\jk соединена с
/Iтп, если и только если 1) все вершины у, к, т и п различны и 2) среди
i, j, к, I, т и п существует только четыре различных символа.
Правило 1 является как раз тем, с которым мы встретились в примерах 1 и
2, и, таким образом, мы можем предположить существование связи между
графом Петерсена и реакционным графом ГЛ гомотетраэдранильного катиона.
Последний граф имеет 5!/4 = 30 вершин и показан на рис. 14. Отображая
каждую вершину iljk графа, показанного на рис. 14, в вершину jk графа,
изображенного на рис. 5, мы устанавливаем гомоморфизм между двумя этими
графами.
296
Г. Джонс, Э. Ллойд
г| 14
1 i 23
Л|23
> 23
45
5| 23
РИС 15
Граф Гл содержит 15 цепей длины 4, и гомоморфизм стягивает каждую такую
цепь в ребро в графе Петерсена (рис. 15). Гомоморфизм был определен
Рандичем [4], но, поскольку им были просто пронумерованы вершины от 1 до
30 и в графе Петерсена - от 1 до 10, он представил соответствие в виде
таблицы, и в результате простота стягивания оказалась в его статье до
некоторой степени скрытой. Наше обозначение позволяет нам увидеть, что
каждый элемент группы S5 индуцирует автоморфизм графа с 30 вершинами
(поскольку каждая операция g е S5 переставляет вершины /1]к и сохраняет
смежность, как определено выше правилами 1 и 2), но мы не можем сразу же
прийти к выводу об отсутствии иных автоморфизмов. Тем не менее Рандич
[4], применив свой алгоритм к этому графу, пришел к выводу, что порядок
группы автоморфизмов равен 120, и, поскольку это также порядок S5,
следовательно, полной группой автоморфизмов является S5.
3.4. ПРИМЕР 4: ДИГОНАЛЬНЫЕ ТВИСТЫ
В ОКТАЭДРИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСАХ
В каждом из ранее приведенных примеров применяемые нами обозначения для
вершин реакционного графа имели три преимущества: очень просто были
связаны с исходным помеченным графом, давали простое правило для
построения реакционного графа и содействовали определению группы
автоморфизмов реакционного графа. Рассмотрим теперь другой пример из