Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
23
рис. 4. Граф L (К5).
РИС. 5. Граф Петерсена L (К5).
порядоченными парами, и при этом вершина у связана с вершиной kl, если и
только если у и kl имеют общий символ. ________
Граф Ь(К5) показан на рис. 4, а его дополнение Ь(К5) - на рис. 5.
Последний пример хорошо известен в теорий графов как граф Петерсена-, его
вершины помечены таким же образом, как и для Ь(К5), но теперь правило
соединения двух вершин ребром следующее: вершина у соединена с вершиной
kl, если и только если все i, j, к и I различив!.
Автоморфизм графа А вводит автоморфизм L(A), но последний граф может
иметь несколько дополнительных автоморфизмов.
Теорема. Пусть А - связный граф по крайней мере с тремя вершинами, тогда
aut L(A) = aut А, если только граф А не является одним из графов,
показанных на рис. 6 (где = означает изоморфизм).
Теорема получает более или менее новую формулировку на основании
некоторых результатов Уитни [8] по линейным графам; см. также книгу
Бехзада и др. [9, гл. 9].
Тремя исключениями являются линейные графы, показанные на рис. 7. В
каждом случае L(A) больше, чем aut А; например,
2
А
РИС. 6.
Группы автоморфизмов химических графов
291
12
23
l(k4)
РИС. 7.
L (/Г4) - октаэдр, но не все его симметрии индуцируются автоморфизмами
КА. [Граф К2 также является исключением, поскольку aut L(K2) меньше
aut/f2 в силу того, что оба автоморфизма последнего графа индуцируют один
и тот же автоморфизм первого.]
3. РЕАКЦИОННЫЕ ГРАФЫ
Ниже мы приведем несколько примеров реакционных графов. В каждом случае
мы начинаем с небольшого графа В, который имеет п вершин, помеченных 1,
2, ... , п (а в одном случае граф В имеет также несколько дополнительных
непомеченных вершин). Существует также правило перегруппировки, согласно
которому мы можем применять некоторые перестановки к меткам вершин. Две
нумерации графа В считаются эквивалентными, если автоморфизм графа В
превращает одну нумерацию в другую. (В более общем случае мы, возможно,
захотим рассмотреть эквивалентность для соответствующей подгруппы aut В.)
Для данного правила перегруппировки реакционный граф В - это граф Г,
вершины которого соответствуют различным неэквивалентным нумерациям графа
Вив котором имеется направленное ребро, связывающее вершину а с вершиной
/3, если*и только если вершина /3 может быть получена из а при применении
правила перегруппировки только один раз. Фактически во всех
рассматриваемых нами примерах перегруппировки обратимы, так что вместо
пар направленных ребер мы бу-
дем использовать ненаправленные ребра •-• . Поскольку мы имеем п
различных меток, легко рассчитать число вершин графа Г: оно равно
n!/lautBl, где \Х\ обозначает число эдементов в множестве X. На первый
взгляд можно предположить существование простой взаимосвязи между aut В и
aut Г; однако это не так. Как мы увидим, aut Г часто является группой Sn
всех перестановок множества N - (1,2, ... , и}, и в разд. 3 мы покажем,
что aut Г всегда содержит Sn.
292
Г. Джонс, Э, Ллойд
3.1. ПРИМЕР 1: МЕХАНИЗМ БЕРРИ
Существует много молекул, в которых центральный атом металла М связан с
пятью атомами или группами атомов (называемых лигандами); геометрия
структуры таких молекул - тригональная бипирамида с атомом металла в
центре (рис. 8). Лиганды L, "и Ь2 называются аксиальными, L3, L4 и L5 -
экваториальными. В механизме Берри * один из экваториальных лигандов
сохраняет свое положение, а все остальные лиганды перемещаются. Сохраняя,
например, положение L3 фиксированным, L4 и Ц смещаются ближе к L3, a L, и
Ь2 отодвигаются еще дальше. Это происходит таким образом, что L3, L4 и L5
остаются копланарными, но угол L4-М - Ц увеличивается от 120 до 180°, и
одновременно L,, Ь2 и L3 остаются копланарными, но угол Lt- М - Ь2
уменьшается от 180 до 120°. Существует промежуточная стадия, на которой
структура имеет форму квадратной пирамиды; однако окончательным
результатом вновь является тригональная бипирамида, но теперь Ь4 и L5
занимают аксиальные положения. Граф, используемый нами для В, является не
графом атомов и связей молекулы (рис. 8), а графом вершин и ребер
бипирамиды (рис. 9).
М
м
РИС. 8.
3
12^45
2
РИС 9.
Механизм псевдовращения Беррн, см. [25*]. - Прим. перев.
Группы автоморфизмов химических графов
293
Конечный продукт псевдовращения Берри - бипирамида с помеченными
вершинами, в которой прежние аксиальные метки поменяли свои положения с
двумя прежними экваториальными метками. Это и будет нашим правилом
перегруппировки. Группа автоморфизмов бипирамиды (известная химикам как
?>ЗЙ и математикам как ?>3 х С2 или расширенная Группа треугольника [2,
2, 3]) содержит 12 элементов. Следовательно, реакционный граф имеет 51/12
= 10 вершин. Удачная нумерация вершин часто оказывается весьма полезной
для понимания структуры графа. В данном случае мы рассматриваем действие
группы полной симметрии на бипирамиду, включая отражения (поэтому мы
рассматриваем энантиомеры как эквивалентные), а значит, нам необходимо
