Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
приведенных Балабаном
[11], для которого, по-видимомз, трудно найти обозначение, обладающее
всеми указанными преимуществами.
В этом примере атом металла М окружен шестью лигандами (рис. 16),
образующими теометрию правильного октаэдра (рис. 17). Механизм, который
мы рассмотрим, известен как дигональный твист и заключается во взаимном
обмене двух г/мс-лигандов в комплексе или, что эквивалентно, двух смежных
меток в октаэдре.
¦ Группы автоморфизмов химических графов
М 1
297
\
РИС. 16.
РИС. 17.
13 56
РИС. 18. Граф L (КЛ.
На рис. 18 показан реакционный граф в одной из его форм, изображенных
Балабаном, но с обозначениями, предложенными Ллойдом [12]. Эти
обозначения нелегко соотнести с исходными обозначениями для октаэдра, но
правило построена реакционного графа точно такое же, как и для графа
Петерсена, за исключением того, что пары символов ij выбираются теперь из
( 1, 2, 3, 4, 5, 6) вместо {1, 2, 3, 4, 5). Действительно, на рис. 18
показан именно граф L(K6), и, таким образом, согласно теореме,
рассмотренной в разд. 2, его группой автоморфизмов является S6. (Рандичем
также показано, что эта группа - S6 [6].)
3.5. ПРИМЕР 5: 1,3-СДВИГИ В ГОМОТЕТРАЭДРАНИЛЬНЫХ КАТИОНАХ
В каждом из примеров 1>-4 группой автоморфизмов реакционного графа
является симметрическая группа Sn, где п - число меток в исходном графе.
Это не всегда так, хотя, как мы объясним в разд. 4, группа автоморфизмов
всегда будет содержать Sn. Однако
298
Г. Джонс, Э. Ллойд
она может быть гораздо большей группой. Например, 1,3-сдвиг в
гомотетраэдранильном катионе, показанный на рис. 13, будет приводить к
повороту ребер 45 вокруг одного из его концов таким образом, чтобы
присоединить другой его конец к 1. (Как и во всех наших примерах мы не
принимаем во внимание, является ли такое превращение химически возможным
или же нет.) Реакционный граф состоит из десяти нецересекающихся
треугольников (типичный такой треугольник имеет вершины, помеченные 1123,
4123 и 5123), и его группа автоморфизмов является сплетением S3ZS10,
порядок которого (3!)'° х 10! = 219 419 659 468 800, что значительно
больше, чем 5! = IS5I.
4. СУБОРБИТАЛЬНЫЕ ГРАФЫ
В этом разделе мы представим предыдущий материал в несколько более
формальном виде, рассматривая, в частности, перегруппировки
гомотетраэдрического графа. Повсюду в этом разделе й - конечное множество
и G - группа перестановок й. Запись ag используется нами для обозначения
образа "ей при действии g е G.
Группа G транзитивна на й, если для всех а, (3 е й существует g е G,
такое, что ag - (3. Если это так, то в этом случае теорема об орбитальном
стабилизаторе утверждает, что I й I = I G I /1 G I, где Ga - стабилизатор
в G точки а е й, такой, что Ga состоит из всех g е G, фиксирующих
положение а. В более общем случае G может быть нетранзитивным на й, и
тогда й разбивается на орбиты й(, т.е. подмножества, на каждое из которых
G действует тран-. зитивно, и мы можем применять теорему об орбитальном
стабилизаторе для каждой орбиты й . Рассмотрим следующие примеры такой
ситуации. Пусть N - (1, 2, ... , п). Определим граф со множеством вершин
N как просто множество Е ребер на N, т.е. подмножество Е множества N<2\
состоящего из всех 2-подмножеств (подмножеств, содержащих два элемента)
N. Например, гомотет-раэдрический граф, вершины которого обозначены, как
показано на рис. 1, задается Е = (12, 13, 24, 25, 34, 35, 45), где мы
используем ij в качестве аббревиатуры для ребра (/', j) е N(2K
Симметрическая группа G - Sn, состоящая из всех п\ перестановок N,
действует на N(2\ переводя каждое 2-множество (/, j) в
1 'g> Jg 1. где g е Sn. Таким образом, Sn переставляет множество всех
' Я + (Я - 1)
2 подмножеств Е с 7V(2), т. е. Sn переставляет множество
* я + (л- 1)
всех 22 графов на N. (Вершины графов, конечно, помечены
, 1, 2, ... , п.) Два таких графа Е, F лежат на одной и той же орбите
Группы автоморфизмов химических графов
299
Sn, если и только если некоторая перестановка g множества вершин N
переводит множество ребер Е в множество ребер F; такие перестановки g
являются как раз изоморфизмами Е - F, поэтому орбита ЯЕ, содержащая Е,
является классом изоморфизма Е, состоящим из всех графов F = Е. (Другими
словами, F = Е, если F и Е становятся идентичными, когда метки вершин не
учитываются.) Приняв F = Е, видим, что стабилизатор Е в Sn является как
раз группой автоморфизмов aut Е, состоящей из всех изоморфизмов Е с самим
собой. Применяя теорему об орбитальном стабилизаторе, мы в таком случае
получаем, что 1ЯЕ1 = ISnl/laut?'l = п\/\гпхЕ\.
Этот результат уже использовался нами в? примерах, рассмотренных в разд.
3, поэтому теперь мы применим его к другому случаю. Балабан f 10]
рассчитал число неэквивалентных обозначений гомокубанильного катиона
(рис. 19), используя несколько сложные аргументы, и получил ответ 45630
(нет сомнения, что здесь была опечатка, так как 45 360 = 9!/8).
Правильный ответ 9!/4 = 90720, поскольку этот граф имеет только четыре
