Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующие матрицы и характеристические полиномы показаны ниже.
Яп =
Аэ, Я,', = Ц, Я21 = А4, я2', = й4', я31 = Л, и Я,', = 1, (10)
?>(12) =
И4 0 0 ~К
0 лэ 0 -К
0 0 *3 -К
-1 -1 -1 h.
?>'02' =
"4
О
о
'12
0 0
h3 0
0 ^3
2h3h; К ¦
h\h4 9
]
>
А< 2)
= Г нп -Н[{1
l-Щг Нп\
12
12 -'¦'12-det (Л <2)) = Я?2 - Н\\ .
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Симметрия и спектры графов
285
Подставляя hx = х' - (i - \)х'~2 и Щ = х'~1, получаем следующее выражение
для характеристического полинома дерева, изображенного на рис. 1:
х10(х6 - 10х4 + ЗОх2 - 28)2 - х*(х6 - Ix4 + \0х2 - 12). (17)
Таким образом, с помощью этого метода легко был получен
характеристический полином для дерева с 22 вершинами.
5. ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ
Известны несколько химических приложений характеристических полиномов
графов. Представление о широком применении этих полиномов и спектров в
химической кинетике и динамике колебательных реакций можно получить из
статей Гласса [32] и Кинга [31]. В области спектроскопии ЯМР автором этой
статьи было показано, что деревья, такие, как дерево, изображенное на
рис. 1, являются диаграммными представлениями взаимодействия составных
частиц [37]. Таким образом, их характеристические полиномы и спектры дают
некоторое представление об уровнях ЯМР-энергии в предельном случае
эквивалентных взаимодействий. Однако для многих молекул все константы
взаимодействия неравны. В настоящее время представленные здесь схемы мы
распространяем на взвешенные деревья и графы.
В заключение кратко отметим применение в статистической механике. Для
некоторых проблем статистической механики [42-44] необходима производящая
функция для частичного димерного покрытия на решетках. Для проблемы
полного димерного покрытия производящая функция может быть легко получена
и известна как пфаффиан [44]. Абсолютное значение коэффициента при члене
Хк в характеристическом полиноме соответствующей решетки определяет число
способов, которыми к/1 димеров могут покрыть решетку. Деревья, такие, как
дерево, изображенное на рис. 1, появляются в модели Потса на решетках
Бете, которые являются связными деревьями со всеми вершинами одинаковой
степени, за исключением концевых [45].
Некоторые примеры применения групп симметрии графов могут быть найдены в
стшьях автора, Фларри [46], а также Рандича и Клейна [47] *.
* См. также [51*]. - Прим. перев.
286
К. Баласубраманиаи
Литература
1. Balaban А.Т. (Ed.), Chemical Applications of Graph Theory, Academic
Press, N.Y., 1976.
2. Mattuck R.D., A Guide to F eyman Diagrams in the Many-body Problem,
McGraw-Hill, N.Y , 1976. (Имеется русский перевод предыдущего издания:
Маттук Р. Фейнмановские диаграммы в проблеме многих тел. - М.: Мир,
1969.)
3. Gordon М., Davidson W.H.T.. J. Chem. Phys., 1952, v. 20, p. 428.
4. Randic М., Mol. Phys., 1977, v. 34, p. 849.
5. Randic М., Tetrahedron, 1977,' v. 33, p. 1905.
6. Randic М., Chem. Phys. Lett., 1976, v. 38, p. 68.
7. Gutman I., Randic М., Chem. Phys., 1979, v. 41, p. 265.
8. Herndon W.C., J. Chem. Educ., 1974, v. 51, p. 10.
9. Masinter L.M., Sridharan N.S., Lederberg J., Smith D.H., J. Am. Chem.
Soc., 1974, v. 96, p. 7702.
10. Shelly C.A., Woodruff H.E., Smiling C.R., Munk M.R., In: Computer
Assisted Structure Elucidation, ACS Symposium Series, D H. Smith (Ed.),
1977, v. 54, p. 92.
11. Shelley C.A., Munk M.E., Anal. Chem., 1978, v. 50, p. 1522.
12. Graovac A., Gutman /., Trinajstic N , Zivkovic Т., Theor. Chim. Acta,
1972, v. 26, p. 67.
13. Gutman I., Theor. Chim. Acta, 1977, v. 45, p. 79. ,
14. Gutman I., Trinajstic: N., Topics Curr. Chem., 1979, v. 42, p.
49.
15. Gutman I., Trinajstic N., Zivkovic Т., Chem. Phys. Lett., 1972,
v. 14, p. 342.
16. Gutman I., Theor. Chim. Acta, 1979, v. 50, p. 287.
17. Randic М., Brissey G.M., Spencer R.B., Wilkins C.L., Comput.
Chem., 1979,
v. 3, p. 5.
18. Randic М., J. Comput. Chen,., 1980, v. 1, p. 386.
19. Randic^M., Match., 1979, v. 5, p. 135.
20. Hosoya H., Yamaguchi Т., Tetrahedron Lett., 1975, p. 4659.
21. Hosoya H., Bull. Chem. Soc. Jap., 1971, v. 44, p. 2332.
22. Herndon W.C., Tetrahedron Lett., 1974, p. 671.
23. Herndon W.C., Ellzey M L., Tetrahedron, 1973, v. 31, p. 99.
24. Giinthard H.H., Primas H., Hel. Chim. Acta, 1956, v. 39, p. 1645.
25. Herndon W.C., Ellzey M.L., J. Am. Chem. Soc., 1974, v. 96, p. 6631.
26. Schwenk A.J., Herndon W.C., Ellzey M.L., Annal. New York Acad. Sci.,
1979, v. 319, p. 490.
27. D'Amata S.S., Theor. Chim. Acta, 1979, v. 53, p. 319.
28. D'Amata S.S., Mol. Phys., 1979, v. 37, p. 1363.
29. King R 8., Theor. Chim. Acta, 1977, v. 44, p. 223.
30. Davidson R.A., Theor. Chim. Acta, 1981, v. 58, p. 93.
31. King R.B., Theor. Chim. Acta, 1980, v. 56, p. 269.
32. Glass L., J. Chem. Phys., 1975, v. 63, p. 1325.
33. Amit R., Hal! C.A., Porsching T.A., J. Comput. Phys., 1981, v. 40, p.
183.
34. Balasubramanian K., Theor. Chim. Acta, 1979, v. 51, p. 37.
35. Balasubramanian K., Theor. Chim. Acta, 1979, v. 53, p. 129.
