Основные процессы и аппараты технологии промышленных взрывчатых веществ - Генералов М.Б.
ISBN 5-94628-130-5
Скачать (прямая ссылка):
Для математического описания процесса смешивания на уровне аналитического исследования с учетом физической сущности сопровождаемых явлений (феноменологический подход) используют уравнения переноса массы, описывающие изменение концентрации вещества в потоке смеси, перемещаемой в объеме смесителя. Применительно к процессам смешивания сыпучих материалов наиболее часто используют диффузионную и ячеечную математические модели.
Для описания упрощенной диффузионной модели потока с осе-симметричным поршневым движением материала с учетом продольного и поперечного перемешивания частиц используют уравнение сохранения массы
где с — концентрация ключевого компонента; t — время; v — линейная скорость_потока; х, г — координаты соответственно вдоль и поперек потока; Dlh Dr- параметры соответственно продольного и поперечного перемешивания (аналоги коэффициентов диффузии).
Из-за сложности решения уравнения (5.20), называемого уравнением двухпараметрической диффузионной модели, его часто упрощают, полагая, например, что Dr = 0. Такое упрощенное уравнение называют однопараметрической диффузионной моделью.
Значения Dlh Dr для каждого конкретного процесса смешивания находят экспериментально на опытных образцах смесителя (физических моделях), что снижает ценность диффузионных моделей для практического использования.
Частные решения уравнения (5.20) при условии, что
д д2
V « Dl —J и Dr=Q, часто приводятся к виду:
(5.20)
л=1
где ап - коэффициенты разложения; / — длина рабочей зоны смесителя.
158 Ячеечная модель предполагает, что поток материала в смесителе последовательно проходит через ячейки, представляющие собой микрообъемы, в пределах которых осуществляется идеальное смешивание. Эта модель описывается ш-ым числом линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
1 Эс
т Ot
где т — число ячеек, адекватных по воздействию на поток реальному смесителю; t — среднее время пребывания частиц в ячейках от г'-й до (/— 1)-й ячейки.
При /я = 1 ячеечная модель переходит в модель идеального смешивания, а при т = оо — в модель идеального вытеснения.
Таким образом, аналитическое исследование работы смесителей связано с решением дифференциальных или интегро-дифференци-альных уравнений, описывающих динамические характеристики процессов смешивания, что часто представляет трудную, а иногда неразрешимую задачу.
Любой непрерывно действующий смеситель с входными и выходными потоками упрощенно можно представить в качестве преобразователя (регулятора) поступающих на его вход сигналов (или сигнала) в выходной сигнал, как это используется, например, при анализе систем автоматизированного регулирования или управления [12]. Сигналы отображают материальные потоки на входе, например, концентрацию ключевого компонента с(Овх и выходе - с(?)вых.
Математическая зависимость, связывающая выходной сигнал объекта с входным, называется математической моделью или характеристикой объекта регулирования (в данном случае — смесителя).
Если смеситель непрерывного действия относится к категории линейных систем, то можно записать следующую связь между выходным и входным сигналами:
Cbik(O = ^CbxO)], (5.21)
где А — оператор преобразования.
Математические выражения А называют динамической характеристикой объекта (системы). Она не зависит от времени и определяется для процесса смешивания структурой потоков внутри объекта. Если представляется возможность составить детерминированную модель объекта, то его динамическая характеристика обычно описывается в виде дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциаль-ных уравнений. Как уже отмечалось выше, решения этих уравнений чрезвычайно трудоемки, а для объектов, описываемых уравнениями высоких порядков, решения в явном виде часто вообще невозможны.
159 Однако в ряде случаев решение таких уравнений значительно облегчается, если их записать не через оригиналы функций, а в виде изображений функций, полученных операционным методом с помощью прямого преобразования Лапласа.
Если оригинал c(t) представляет собой функцию времени t, то изображение этой функции С(р) есть функция комплексной переменной р, задаваемой в виде следующего интеграла:
ао
C(p) = fc(t)r<"dt = L[c(t)], о
где L — символ прямого преобразования Лапласа.
Для отыскания оригинала решения, полученного в операторной форме, его подвергают так называемому обратному преобразованию Лапласа:
с(0 = L~l[C(p)],
где Lri — символ обратного преобразования Лапласа.
Фактически производить операции прямого и обратного преобразования Лапласа во многих случаях не приходится, так как имеются достаточно обширные таблицы соответствий между наиболее распространенными оригиналами и изображениями, приведенными, например, в [13]. В результате преобразования функций по Лапал асу дифференциальные и интегральные уравнения преобразуются в гораздо более простые для решения алгебраические уравнения. Кроме того, изображения являются часто более простыми функциями, чем оригиналы.
Если смеситель рассматривать как объект или устройство регулируемой системы, то для их характеристики пользуются не уравнениями, записанными в виде изображений функций, а их передаточными функциями. Под передаточной функцией Щр) понимают отношение изображения выходной величины для объекта или устройства системы (для рассматриваемого случая — С(р)вых) к изображению функции входной величины С(р)ш, полученных при нулевых начальных условиях, т.е.
