Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Я" (А, А) = Ext(A-A, к-л) (Л, А) Ext"A.A, к> (А, А), (1.3)
Нп (А, А) = ТоГпЛ'А’к_л) (A, A) s* Tor{nA-A’К) (А, Л). (1.4)
Эти эквивалентные описания даны в терминах В-резольвенты для алгебр, которая дана в явном виде в § 2 и является специальным случаем В-резольвенты (IX.7) для резольвентной пары категорий. В этой главе исследуются свойства групп Нп и Нп и рассматриваются подобные группы (ко)гомологий для градуированных и дифференциальных градуированных алгебр, а также для моноидов и для абелевых групп.
§ 2. В-резольвента для алгебр
Пусть А является алгеброй над кольцом К. Единица 1л определяет К-модульное отображение / : К —> А; коядро этого отоб-
§ 2. В-резольвента для алгебр
359
ражения А/I (К) = Л/(К1л) будет обозначаться через Л/К, а элементы коядра будут записываться как смежные классы Я + К.
Для каждого левого Л-модуля С построим относительно свободный Л-модуль (® = ®к)
Вп (Л, С) = Л ® (Л/К) ® ... ® (Л/К) ® С (п множителей Л/К).
(2.1)
Как К-модуль он порождается элементами, которые мы запишем, заменив символ ® вертикальными черточками:
ММ ••• |А»]с = А,® [(Я^ + К)® ... ® (Ь„ + К)]® с; (2.2)
в частности, элементы В0 запишутся как Я, [ ] с. Левый множитель Я, определяет левую Л-модульную структуру в Вп; здесь символ | . . .| Я*] с без оператора X обозначает соответствующий элемент из (Л/К)п ® С. Эти элементы нормализованы в том смысле, что
_[А,,|...|Лп]с = 0, (2.3)
если один из элементов Xt ? К.
Теперь построим отображения, указанные в диаграмме
е д
с :^ в0 (Л, с) ^ Bi (Л, с) х • • • •
8-1 S0
Определим К-модульные гомоморфизмы s_t : С —> В0 и s„ : Вп —*¦
В„ + 1, ПОЛОЖИВ 5-iC = 1 [ ] с и
s„(44...|a,„]c) = nMa,1|...|a,7l]c, п>°- (2-4)
Ввиду нормализации s^+is^ = 0. Определим гомоморфизмы левых Л-модулей в: В0-у С и дп: Вп -v Bn-i при п> 0, положив е (Я [ ] с) = Хс и
дп (Я [Aj | ... | Хп] с) = XXi [Я-21 • • • | 'Хп\ с ~Ь
п— 1
+ 2 (-1)4Я[^|... |Я,Х,+1|... |Яв]с + (-1)"Я[Я1|...|Яп-1](Я;с).
(2.5)
Это определение законно, поскольку правая часть формулы К-полилинейна и нормализована: если некоторое Яг = 1, то члены с номерами i — 1 и i взаимно уничтожаются, а остальные члены равны нулю.
Теорема 2.1. Для каждого левого А-моду ля С гомоморфизм г-В (Л, С) С есть резольвента, состоящая из (Л, К)-относительно свободных левых А-моду лей, которая 'К.-расщепляется стя-
360_____________Гл.ш X. Когомология алгебраических систем____________
гивающей гомотопией s, причем s2 = 0. Кроме того, В (А, С) — ковариантный функтор аргумента С.
Эту теорему можно доказать непосредственно, исходя из написанных выше формул. С другой стороны, используем резольвенту из IX.7 для резольвентной пары М с <#=левые Л-модули, <Л =
— К-модули, F (Л4) = Л ® М, е (т) = 1 <g> т. Поскольку последовательность К~» Л—» Л/К—> 0 точна справа как последовательность К-модулей, каждый К-модуль М порождает точную справа последовательность
М =К ® F (М) = Л ® М-~> (Л/К) ® М-> 0,
так что F (М) а* (Л/К) ® М. Далее, отображение sM : F (М) -> FF (М) определяется формулой s (Я ® т) = 1 ® (Я + К) ® /п. Следовательно,
В„ (Л, С) = FFn ? С = Л ® (Л/К)п ®С = Вп (Л, С),
где В (31, С) обозначает то же, что и в IX (7.3), a s определяется формулой (2.4). Формулы для е и дп определяют единственный граничный гомоморфизм, для которого s есть стягивающая гомо-топия. Следовательно, В (М, С) — В (Л, С).
Существует несколько вариантов В-резольвенты, что будет сейчас показано.
Для ненормализованной В-резольвенты Р (М, С) = р (Л, С) (см. IX.6)
рт, (Л, С) = FFnC = Л ® Л" ® С, (2.6)
где Л” = А ® ... ® А (п множителей). Гомотопия s, г и граничный гомоморфизм задаются формулами (2.4) и (2.5), в которых каждый символ К [A,t | . . . 1Кп ] с заменяется элементом Я ® А* ® ...
• • • ® К ® с. В этом случае граничный гомоморфизм можно переписать, как и для сингулярного комплекса пространства, в ви: де дп = 2 где di : р„ p„_i являются Л-модульными
гомоморфизмами, определенными формулой
dt (Ко ® Ki ® ® Кп ® с) =Яо ® • • • & ^г^г+1
® ... ® с,
1 = 0, ..п (2.7)
(при i = п правая часть равна Я0<8> . . . ® ^пс)- Теорема 2.1 справедлива и при замене резольвенты В (Л, С) резольвентой р (Л, С), за исключением того, что sz не обязательно равняется нулю в р (Л, С).
Далее, Л-модульное отображение т] : Р„ В„, определенное равенством ц (Я, <g> А,! ® . . . ® Кп ® с) — К [Кх | . . . [ ^ ] с, является Л-модульным цепным преобразованием, накрывающим 1 с : С -»-С; действительно, оно является каноническим отображением
§ 2. В-резольвента для алгебр
