Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
G' ® ЯА" = 0, Ношл(С', Л") = 0. (9.1)
Доказательство. Возьмем элемент (Г, 0) 6 R. Тогда g'®a"=g'(\', 0)<8>а' = ?'®(Г, 0)а' = ?'®0 = 0.
Аналогично если / : С" А ", то
/(С') = /[(1',0)С'] = (Г,0)/(С') = 0.
Соответствие А Л' = jR' ®д Л, а а' = 1Н' ® а определяет ковариантный функтор из категории Я-модулей в категорию #'-модулей. Этот функтор точен: из а || р следует а' || р*. Более того, имеет место
23*
356
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Предложение 9.2. Каждый левый (R'хR”)-модуль А представим в виде прямой суммы А ^ (яХА') 0 (rt2A") двух R-модулей, первый из которых получен отступлением из R'-модуля А', а второй — из R''-модуля А". Эти модули А! и А" определены с точностью до изоморфизма A* ^ R' ®л А, А" a* R"®в А. При заданном разложении модулей А и В каждый R-модульный гомоморфизм а : А -*¦ В имеет единственное представление в виде а = а'0а", где a'.-A'-vB' и а": А"-*-В"— это R’- и R "-модульные гомоморфизмы соответственно.
Доказательство. Используя изоморфизм R ^ R’ © R*, получаем разложение
А = R ® ЛА s (R' © R”) ® rA s (R’ ® яА) 0 (R” ® rA).
Если А = А’© А"— разложение указанного вида, то из (9.1) имеем R' ®ДА = R’ ®дА' = R" ®д-А' as А'. Для гомоморфизмов а : АБ, а' = 1Д> ® а : jR'АjR'®ЯВ и а" =
= 1н» ® а имеем а аг а' © а".
Следствие 9.3. Для левых R-модулей А и С и правого R-модуля G, каждый из которых разложен так, как указано в предложении 9.2, существуют естественные изоморфизмы
Ношд (С, А) & Нотд' (С', А') © Нотд» (С", А"), (9.2)
G®bA^G,®b-A'©G"®r.A". (9.3)
Доказательство. Функтор HomR (С,А) аддитивен по
своим аргументам С и А, Нотд (С', А') а^ Нотд< (С\ А') и
Нотд (С', А ") = 0 по (9.1).
Изоморфизмы, аналогичные изоморфизмам (9.2) и (9.3), справедливы для относительных функторов Ext и Тог. Например, если даны подкольца S’ cz R' и S" a R", то S — S'xS" есть подкольцо кольца R'xR", причем = S', n2S = S". Мы рассмотрим более общий случай произвольного подкольца кольца jR'xR".
Теорема 9.4. Если S — подкольцо кольца R’xR", то положим S' = Яц5 cz R', S" = n2S cz R". Для левых R-модулей А и С и правого R-модуля G, каждый из которых разложен, как в пред-ложении 9.2, для любого п существуют естественные изоморфизмы
Extfc. s, (С, A) sExt(H', so (С', А') © Ext^. вч (Сп, А"), (9.4) Torf’S) (G, С) ss Torf ’s° (G'f C) © Torf"’^ (O', C"). (9.5)
Те же изоморфизмы верны, если опустить S, S’ и S".
Доказательство. Сначала заметим, что (R', S')-cbo-бодный модуль R' ®s'M* также (R, 5)-проективен (хотя не обя-
§ 9. Прямые произведения колец
357
зательно (R, 5)-свободен). В самом деле, левый S'-модуль М" становится левым S-модулем при отступлении, и, используя лемму
об отступлении, получаем:
R ® 8М' & R’ ® вМ’ © Я" <S> SM' s*R'® *M' ®Ra® S»M'.
Поскольку (R, SX-проективен модуль R ®sM", то проективно и его прямое слагаемое R' ®s' М‘.
Теперь выберем относительно свободные расщепляющиеся резольвенты е' : X* -*¦ С' и е”: X"-*¦ С" компонент модуля С. Тогда в' ¦© в" : X' © X" -*¦ С’ © С" есть резольвента R-модуля С'© С", которая S-расщепляется прямой суммой S'- и S "-стягивающих гомотопий комплексов X' и X". В силу первого замечания каждый член Х^ © Хп здесь (R, 5)-проективен. Применяя (9.2) и (9.3) для X = X' © X", имеем
Ношд (X, A) et Ношв' (X', А') © Нотк» (Xй, А”), G®RX^G'® r-Х' © G" ® Д^Х".
Переход к группам гомологий и когомологий дает требуемые изоморфизмы (9.4) и (9.5).
В изоморфизме (9.5) каждая проекция Torn (G, С) -^-Tor„(G', С') может быть описана как отображение %*. индуцированное заменой колец % : (R, S; G, С) (R% S'; G\ С'), которая получается проектированиями R — RfxR"->- Rf, G = G‘’© 0G"->-G’ht. д. Действительно, для вычисления х* надо накрыть С-*-С* цепным преобразованием ср: XX'; такое ф есть проекция X = X' © X ХА, использованная при выводе (9.5).
Доказательство тех же результатов в случае, когда нет кольца S, еще проще; если Х’п —.свободный ^'-модуль, то он является прямой суммой копий R и, значит, R-проективен.
Эта теорема будет использована в следующей главе для алгебр (§ 6).
Когомология алгебраических систем
§ 1. Введение
Гомология алгебраических систем является объектом изучения относительной гомологической алгебры.
Для группы П используются точные последовательности 11-модулей, которые расщепляются как последовательности абелевых групп. Группы когомологий группы П с коэффициентами в модуле пЛ определяются следующим образом (см. IX.7):
Нп (П, А) = Extz(n) (Z, А) & Ex$zm. z) (Z, А). (1.1)
Соответственно группы гомологий группы П с коэффициентами в модуле Gn будут определены так:
Нп (П, G) = Тог*(П) (G, Z) =? TornZ(n)’ Z)(G, Z). (1.2)
Для К-алгебры А используются точные последовательности А-бимодулей, которые расщепляются как последовательности правых A-модулей, или последовательности, которые расщепляются только как последовательности К-модулей. Для А-бимодуля А когомология и гомология алгебры А определяются следующим образом:
