Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
4. Пусть А, В, С — левые П-модули. Превратить группы В ®z С и Homz (С, А) в левые П-модули с операторами х (b (g) с) = xb ® хс
§ 8, Относительные периодические произведения 349
и (ха) с — х Iа (х~1с) ], а: С -> А соответственно и установить естественный изоморфизм
Нотп (В, Homz (С, Л)) и Нотп (В (g)z С, А).
5. Показать, что если А — относительно инъективный или С — относительно проективный объекты, то модуль Homz(C, А) с операторами, определенными в упражнении 4, относительно инъективен.
6. Используя аксиомы для относительного функтора ext, установить естественный изоморфизм
Е**5(П), z (С, А) в Ext”(n); г (Z, Homz (С, А)),
Вместе с этим результатом следующие упражнения, предложенные автору Шмидом, дают доказательство теоремы редукции для и-умножения, как это отмечалось в VIII.9 (ср. Шмид [1963]).
7. Из представления П = F/R группы П как факторгруппы свободной группы F получить групповое расширение Е : R0 >-» В' -» П, где [/?, i?] — коммутант группы R, R0 = R/IR,R] и В' = F/[R,R],
8. Характеристический класс % расширения Е, описанный в IV.6, является двукратным Z-расщепляющимся расширением Rq с помощью Z. Показать, что промежуточный модуль М из % свободен; именно пусть F — свободная группа с образующими g, S — свободный П-модуль с соответствующими образующими g'; показать, что отображение g -+¦ [els g-] 6 М является изоморфизмом S & М. (Указание: использовать лемму IV,7.2 для построения обратного отображения.)
9. Пусть А является П-модулем. Показать, что итерированный связывающий гомоморфизм для X порождает изоморфизм Ext” (i?0-A) s s Extn+2 (Z, А) для относительного функтора ext, n > 0, и, следовательно, в силу упражнения 6, изоморфизмы
Я”+2 (П, А) = Нп (П, Homz (Яо. А)), п > 0,
№ (П, A) es Coker [Homn (М, А) -> Нотп (R0, А)].
10. При п > 0 для правого П-модуля G получить «дуальную» теорему редукции
Нп+2(П, G) s Нп (П, G 0z #о).
§ 8. Относительные периодические произведения
Пусть 5 — подкольцо кольца R с той же единицей. Тогда возникает резольвентная пара 31 = (jR, S) категорий, в которой & — категория левых jR-модулей, <Ж — категория левых S-модулей,
? (А) — функтор, сохраняющий только S-модульную структуру F (М) — R ®s М и е (т) = 1 ® т. В этом случае ?-расщепляющаяся короткая точная последовательность — это точная последовательность R-модулей, расщепляющаяся, если ее рассматривать как последовательность S-модулей; назовем такую последовательность S-расщепляющейся. Соответствующие допустимые гомоморфизмы назовем (R, 3)-допустимыми, а относительно проективные объекты — (R, S) - проективным и.
350
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Определим комплекс R-модулей 0 (R) над R,
Я^МЯ)*-р1(Я)<-р2(Я)<-----------.
положив р„ (R) = R 0 jR" 0 R = Rn+2, здесь п + 2 множителя, е (г0 0 Г)) = fofi, где ® есть сокращение для 0S, и
П
3 (г0 0... 0 гп+1) = 2 (— 1)*г0 (8).. .0 nrj+i ® /’n+i. (8.1)
i=0
Теорема 8.1. Для колец R =э 5 комплекс е:Р (#)-»-jR является комплексом R-бимодулей над R со стягивающей гомотопией s: jRn+2 #п+3, определенной для п>1 формулой
s (Гь ® ® гn+i) = 1 ® гo0...®rn+i* (8.2)
Эта гомотопия есть гомоморфизм S-R-бимодулей, причем S действует слева, a R справа.
Доказательство. Прежде всего esr0 — е (1 0 г0) = г0, так что es = 1. Пусть и = г0 0 . . . 0 гп+1 и п>0. Первый член выражения dsu равен и, остальные члены дают —sdu, следовательно ds + sd — 1, что и требовалось. Из определения следует, что ед = 0, дд = 0. По симметрии существует также стягивающая гомотопия
t (го0... 0 г„+1) = г0 0... 0 г„+1 0 1,
которая есть R-S -бимодульный гомоморфизм.
Следствие 8.2. Для левого R-модуля С, Р (R) 0Л С есть В-резольвента р (С) для резольвентной пары (R, S). Симметрично для каждого правого R-модуля G, G 0Л Р (R) вместе со стягивающей гомотопией t есть (правая) В-резольвента р (G).
Доказательство. Поскольку R 0И С & С, можно построить р (R) 0Н С, просто заменив последний аргумент rn+i в (8.1) и (8.2) элементом с ? С. Тогда Р„ (R) 0л С = FaF (С), стягивающая гомотопия s из (8.2) совпадает с гомотопией (6.2) и д — единственный граничный гомоморфизм со стягивающей гомотопией s из теоремы 6.3. В частности, р (R) является резольвентой (левой или правой) R-модуля R.
Заметим, что граничный гомоморфизм (8.1) в р (R) является альтернированной суммой граничных операторов di : Р„ Р„-ь определенных формулами
di (г0 0 . . . 0 Г n+i) = Г0 0... 0 Г t-l 0 ГгПП 0 ri+2 0... 0 г„+1, (8.3)
1 = 0, 1, ..., п. Соответствующие операторы вырождения : Рп Pn+i равны
st (г0 0. • • 0 г n+i) — г0 0 ... 0 rt 0 1 0 ri+1 0 ... 0 Гп+1- (8.4)
§ 8. Относительные периодические произведения___________351
При этом выполняются обычные соотношения между di и sj, так что р (jR) есть симплициальный jR-бимодуль в смысле VII 1.5. Читатель может показать, что симплициальная нормализация р (R) порождает нормализованную В-резольвенту В (R).
