Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
f (1 ® [Xi | ... | Яп] ® 1) = / (Я-1> • • •» последовательно, модуль Нотл-л (В (Л, Л), А) изоморфен К-моду-лю всех К-полилинейных нормализованных функций, заданных на n-кратном прямом произведении. Кограничный гомоморфизм является функцией, определенной согласно правилу знака формулой
8f(Xu %п+1) = (-l)n+i{Я,/(%2, Xn+i) +
+ 2 (—. 1)V(Л.1......Mm, ...,Яп+1) + (-1Г№...............MW-
i=1
(3.2)
В частности, нульмерная коцепь — это константа а ? А; ее кограница — это функция f : А -*¦ А, причем f (%) — ак — %а. Назовем элемент а 6 А инвариантным, если %а= ак для всех %, и пусть АЛ обозначает К-подмодуль всех инвариантных элементов из Л; тогда
Н° (А, А) ^ Ал = {а | ка = а% для всех Я ? Л}. (3.3)
Аналогично одномерный коцикл — это К-модульный гомоморфизм / : А -> Л, удовлетворяющий тождеству
f (^1^2)= ^if (^2) + f (^1) к2, Я2?А; (3.4)
такая функция / называется скрещенным гомоморфизмом алгебры А в модуль Л. Он является кограницей, если имеет вид /0 (Я) = = ак — “Ка для некоторого фиксированного а\ назовем fa главным скрещенным гомоморфизмом. Следовательно, Я1 (А, Л) есть К-фак-тормодуль К-модуля всех скрещенных гомоморфизмов по подмодулю главных скрещенных гомоморфизмов, в точности так же, как в случае когомологий групп (IV.2).
Как и для случая групп, Я2 (А, Л) можно интерпретировать в терминах расширений с помощью алгебры А. Расширением с по-
364
Гл. X. Когомология алгебраических систем
мощью алгебры Л называется эпиморфизм а : Г -» А алгебр. Ядро J этого эпиморфизма является двусторонним идеалом в Г и, следовательно, Г-бимодулем. Для каждого п пусть Jn обозначает К-подмодуль алгебры Г, порожденный всеми произведениями jijz ... jn из п множителей jt 6 J¦ Тогда J = J1zdJ2zdJ3zd . . . и всякое J” — двусторонний идеал в Г. Расширение а называют рассеченным, если а обладает правым обратным гомоморфизмом алгебр Ф : Л-> Г (atp = 1л), т. е. если Г содержит подалгебру, изоморфно отображающуюся при гомоморфизме а на Л. Расширение а называют сингулярным, если идеал J — Кег а удовлетворяет условию Р = 0. В каждом сингулярном расширении Г-би-модуль J можно рассматривать как Л-бимодуль, так как из ay = = ay' следует (7 — 7') 6 J, откуда yj = 7'/ для каждого / ? J, поскольку J2 — 0. Тем самым определяется действие слева каждого элемента А — a (7) на /.
Обратно, если дан произвольный Л-бимодуль А, то сингулярным расширением А с помощью Л называется короткая точная последовательность (х, а) : А >-» Г Л, где Г — алгебра, a — гомоморфизм алгебр, А рассматривается как Г-бимодуль, получающийся при отступлении вдоль а, и к: А >-> Г есть мономорфизм Г-бимодулей. Для фиксированных Л и Л два таких расширения (х, а) и (х\ а') называются конгруэнтными, если существует такой гомоморфизм р: Г Г' алгебр, что х' = рх, a = a'p. Это условие приводит к уже знакомой нам коммутативной диаграмме, из которой следует, что р — изоморфизм. Примером расширения Л с помощью Л является полупрямая сумма, определенная как К-модуль Л 0 Л с умножением (ab Aj) (а2, А2) — (аД2 + А^г, ЯЛ2); вместе с отображениями ха = (а, 0) и а (а, А) = А она является сингулярным расширением Л с помощью Л, рассеченным отображением ф, фА = (0, А). Любое рассеченное сингулярное расширение конгруэнтно полупрямой сумме.
Рассмотрим те сингулярные расширения (х, а), которые К-рас-щепляются в том смысле, что существует К-модульный гомоморфизм и : А —-*¦ Г, обратный справа к с. (Любое рассеченное расширение К-расщепляется; если К — поле, то любое расширение К-рас-щепляется.) Отождествим каждый элемент а? А с элементом ха? Г, так что х: Л Г есть тождественное вложение. Правое обратное отображение и можно выбрать так, чтобы выполнялось «нор-мализационное» условие и (1л) = 1г> если и не удовлетворяет этому условию, то положим а0 = и (1л) — 1г G Л; тогда ы' (А) = и (А) —
— Аа0 является новым правым нормализованным обратным. Кроме того, а [и (AjA2) ] = AjA2 = а [и (Aj) и (А2) ], так что существуют такие однозначно определенные элементы / (Аь А2) ? Л, что
и (Ai) и (А2) — f (Aj, А2) и (А1А2). (3.5)
§ S. Когомология алгебры
365
Назовем элементы f системой факторов расширения, соответствующей представителям и.
Теорема 3.1. Если А есть К-алгебра и А естьА-бимодуль, то каждая система факторов К-расщепляющегося сингулярного расширения бимодуля А с помощью алгебры А является двумерным коциклом комплекса НотА.л (В (Л, Л), А). Сопоставление каждому расширению когомологического класса любой из его систем факторов определяет взаимно однозначное соответствие между множеством классов конгруэнтности К-расщепляющихся сингулярных расширений А с помощью А и модулем Н2 (Л, А). При этом соответствии рассеченные расширения (в частности, полупрямая сумма) переходят в нуль.
Доказательство. Будем рассматривать элемент и (Я) как представитель элемента Я в расширении Г. Г-бимодульную структуру в А можно следующим образом описать с помощью элементов и:
