Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
361
сравнения резольвент и Вп. Значит, по теореме сравнения имеет место
Следствие 2.2. («Теорема о нормализации».) Проекция rj: Р (Л, С) —>- В (Л, С) является цепной эквивалентностью комплексов А-модулей.
Ядро т] является Л-модулем, порожденным объединением образов Л-модульных гомоморфизмов s™ : Р„ P„+i :
S" (Я ® Я,! ® ... ® Хп ® с) =
= X ® ® ® 1 ® Яг+1 ® ... ® Хп ® с (2.8)
для t = 0,..., п. Эти гомоморфизмы Si и гомоморфизмы d i из (2.7) превращают р (А, С) в ассоциированный цепной комплекс симплициального A-модуля, a ri есть симплициальная нормализация из теоремы VII 1.6.1.
Для построения бимодульной В-резольвенты В (А, А) возьмем в качестве С алгебру А. Тогда каждый модуль Вп становится А-бимодулем; формула (2.5), в которой элемент с нужно заменить элементом X' 6 А, показывает, что отображения г и дп для всех п являются А-бимодульными гомоморфизмами. Аналогично s из (2.4) становится гомоморфизмом правых A-модулей; тем самым получено
Следствие 2.3. Если А есть К-алгебра, то г : В (А, А)
А есть резольвента бимодуля А, состоящая из (А-А, А справа)-свободных бимодулей, расщепляющаяся как последовательность правых A-модулей, и в то же время К-расщепляющаяся резольвента А, состоящая из (А-А, К)-свободных бимодулей.
В последнем предложении не утверждается, что В (А, А) — категорная резольвента для резольвентной пары (А-бимодули, К-модули). Заметим также, что В (А, С) = В (А, А) ®ЛС.
Левая В-резольвента применяется для пополненных алгебр е: Л -> К и равна В (Л) = В (Л, еК), где еК — кольцо К, рассматриваемое как левый Л-модуль, полученный отступлением вдоль 8. В этом случае Вп (Л) = Л ® (Л/К)" порождается элементами X [А,! | . . . | ХД a s и д определяются формулами (2.4) и (2.5), в которых нужно опустить с, а «внешний» множитель Хас в последнем члене из (2.5) заменить на г (Х„). Тогда В (Л) еК — это К-рас-щепляющаяся, (Л, К)-свободная резольвента левого Л-модуля еК. В частности, когда К = Z и А = Z (П), она превращается в В-резольвенту из IV.5.
Редуцированная В-резольвента для пополненной алгебры А — это комплекс В (А) = КЕ ®л В (Л), так что В0 (Л) = К и Вп (Л) = = (Л/К)71 при п > 0. Формула для стягивающей гомотопии уже
362
Гл. X. Когомология алгебраических систем
не применима к В, но формула для граничного гомоморфизма по-прежнему применима: нужно опустить с и левый оператор Я и в (2.5) заменить оператор %i на е (A.j) и Хпс на е (А,Л). «Редуцированная В-резольвента» не есть резольвента, но оказывается полезной при подсчетах. Левая и редуцированная В-резольвенты могут быть построены также без нормализации.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Л—пополненная алгебра, и пусть X — произвольная относительно свободная К-расщепляющаяся резольвента модуля ЕК, состоящая из левых Л-модулей. Показать, что канонические сравнения (теорема IX.6.2) ф: В (А) -*• X, X В (Л), накрывающие единицу, удовлетворяют равенству фф = 1.
2. (Картан.) Если Л — пополненная алгебра, то показать, что левая В-резольвента В (Л) характеризуется с точностью до изоморфизма как К-расщепляющаяся резольвента X модуля еК с такой стягивающей гомотопией s, что s2 = 0 и Х„еЛЙ
3. Теорему о нормализации можно доказать непосредственно. Пока-
зать, что бимодульное цепное преобразование ? : В (А, С) р (А, С), для которого е?= е, можно определить рекурсивно, положив ?0 = 1, =
= где еп = e(FnOC). Доказать, что т]? = 1 и с помощью анало-
гичных средств построить цепную гомотопию ?т) = 1; г) — отображение из следствия 2.2.
4. Показать, что для левых Л-модулей С и А одномерные коциклы коцеп-ного комплекса НотЛ (В (А, С), А) можно рассматривать как системы факторов для К-расщепляющихся Л-модульиых расширений А с помощью С.
§ 3. Когомология алгебры
Очевидно, что п-и модулем когомологий К-алгебры Л с коэффициентами в Л-бимодуле А является К-модуль
Нп (А, А) = Нп (Нотл-л (В (Л, Л), А)), п = О, 1, ..., (3.1)
ковариантный функтор аргумента А. Здесь Нотл_л обозначает модуль бимодульных гомоморфизмов. В соответствии с теоремой о нормализации мы можем заменить бимодульную 5-резольвенту В (А, Л) ненормализованной В-резольвентой (3 (Л, Л). Обе резольвенты В (Л, Л) и р (Л, Л) являются (Л-Л, К-Л)-относи-тельно проективными резольвентами бимодуля Л, расщепляющимися как последовательности правых Л-модулей, а также К-расщеп-ляющимися, (Л-Л, К)-относительно проективными резольвентами Л, так что Я" (Л, А) во всяком случае есть п-й относительный •функтор Ext, как указано в (1.3).
Мы назовем Я” (Л, А) модулями когомологий Хохшильда модуля А, лоскольку они впервые были определены Хохшильдом [1945],
§ 3. Когомология алгебры
363
использовавшим формулы, данные для В-резольвенты, в случае когда К есть поле.
Комплекс НогпЛ.Л (В (Л, Л), А), использованный в (3.1), можно описать более непосредственно. Рассмотрим К-полилинейные функции f, определенные на n-кратном прямом произведении Лх... ... X Л со значениями в А; назовем функцию f нормализованной, если f (Я,ь . . ., %п) = 0 всякий раз, когда один из элементов равен 1. Например, функция [Xt | . . . | ЯЛ] с из (2.3) К-поли-линейна и нормализована. Универсальное свойство тензорного произведения Вп (Л, Л) = Л ® (Л/К)" ® Л означает, что каждая К-полилинейная нормализованная функция f определяет единственный бимодульный гомоморфизм f: Вп (А, Л) -*¦ А, для которого
