Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Другое обстоятельство, которое можно было предвидеть на основе опыта расчетов в этой области: компоненты главной собственной функции Tp1 (в зависимости от пространственных координат, которые в принятых обозначениях опущены) — просто устроенные функции «колоколообразной» формы. С течением времени (при изменении а (0) их форма меняется не очень существенно. Заметно меняется лишь отношение их амплитуд (т.е. соотношение между потоками быстрых и медленных нейтронов в холодном и горячем реакторе). Из сказанного выше следует рецепт нормировки: постоянной полагается гильбертова норма второй компоненты Tp1. При численном решении задачи оценивалась и величина WdyJdt: она фактически оказалась достаточно малой по сравнению с другими членами (около I -5- 2 %).
§ 17. Жесткие системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
В пятидесятых годах при решении задач Коши для систем, описывающих кинетику реагирующих друг с другом химических веществ, вычислители столкнулись с крайне неприятным явлением. Расчеты проводились с помощью хорошо отработанных программ, в которых использовались методы Рунге—Кутты и надежные алгоритмы автоматического выбора шага. Эти алгоритмы очень быстро вырабатывали шаг численного интегрирования, столь малый, что часто не было никакой возможности рассчитать процесс на требуемом для приложений отрезке времени, даже используя наиболее мощные ЭВМ той эпохи. Визуальный анализ правых частей, казалось, не давал оснований для каких-то опасений.
Типичная система уравнений химической кинетики выглядела (технические подробности опускаем) примерно так:
Xі ~ 2 AjxJ + 2 Ajk?Jxk' 1’» 2, AT,
(1)
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
209
где Aj, A1jk — константы, характеризующие скорости протекания тех или иных реакций. Бросалась в глаза, правда, существенная разница в их значениях: они отличались друг от друга часто на много порядков. В то же время исключить какие-то «малые» члены из (1), оставив только самые большие, было нельзя, ориентируясь лишь на значения А. Существенными были и концентрации разных веществ х1: они могли очень сильно изменяться с течением времени.
Затрачивая значительное машинное время, удавалось получать начальные отрезки траекторий и провести анализ ситуации. Он выявил следующую характерную картину. В начале процесса происходит сильное изменение x(t) и выбираемый программой шаг численного интегрирования вполне разумен: он очень мал, но так и должно быть для аккуратного интегрирования столь быстро меняющихся функций. Через небольшое время t характер траектории резко меняется, она становится гладкой, медленно меняющейся, HO программа этого «не замечает» и выбирает такой же малый шаг. Попытки «подсказать» программе выбор существенно большего шага, согласованного с гладкостью решения, немедленно приводили к вычислительной катастрофе. В § 5, 7 специально указывалось* что при оценке вычислительной сложности задачи Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений х = /(х) существенны два фактора: строение поля траекторий в окрестности интегрируемой траектории и свойства матрицы fХ(х).
Анализ поля направлений таких систем, получивших название «жестких», дал характерную картину, качественно представленную рис. 21. Траектория x(t) состоит из короткого участка быстрого ее изменения (так называемого «пограничного слоя») и длительного участка очень медленной ее эволюции (иногда его называют «квазистаци-онарным режимом»). Основные трудности связаны именно с расчетом последнего. Пограничный слой интегрируется очень малым шагом, но он настолько краток, что число шагов интегрирования вполне приемлемо. На рис. 21 при помощи «микроскопа» с последовательно увеличивающимся разрешением показана структура поля направлений в окрестности x(t). Сначала видны траектории, отвесно падающие на х((). При следующем увеличении видно, что, приближаясь к x(t), они поворачивают, стремясь двигаться «параллельно» x(t). И лишь при еще большем увеличении видна стандартная картина практически параллельных линий.
x(t)
210
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Если из точки x(f) траектории сдвинуться по касательной в точку Xt = x(t) + хx(t), то, хотя расстояние x(t + т) — х* = 0(т2) ничтожно, /(**) не имеет ничего общего cx(t + т), направление/(х*) скорее
напоминает перпендикуляр к траектории х(ґ). То же самое получается и при определении X* отрезком ряда Тейлора из трехчетырех и более членов при том значении т, которое хотелось бы использовать для численного интегрирования квазистационарно-го режима.
Анализ матрицы fx(x) в окрестности траектории также привел к специфической картине, которую мы примем за основу при следующем формальном определении жесткой системы.
Определение 1. Задачу Коши
X = /(х), х(0)=*0, 0 ^T, XERn (2)
будем называть жесткой, если спектр матрицы fx(x) достаточно четко делится на две части (рис. 22).
Жесткий спектр. Собственные значения и векторы обозначим Ai(х) и ФДх) (г = 1, 2, ..., /). Для жесткого спектра выполняются условия
ReAi(X)=S-L, |1т Лг(х) I < |Re Л;(х) I (3)
