Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
V — 00 — 00 — 00 — 00 0 0 0 — 00
цию, не имеют точных значений. Полезно знать, как их изменение влияет на квазирешение. Можно предположить, что каждое «решение» содержит как объективную информацию, так и случайную, связанную с неопределенностью описания М. Вторая компонента численного решения, видимо, наиболее чувствительна к вариации параметров. Рисунок 45 это предположение, кажется, подтверждает. На рис. 46 показаны четыре первых решения одновременно. Такое представление позволяет оценить, что в разных рис 46 решениях является устойчивым, а что —
случайным. Наконец, подобные расчеты позволяют более объективно оценить точность решения некорректной задачи при той априорной информации, которая была использована.
Метод квазиобращения. Французским математиком Ж. JI. Ли-онсом был предложен гораздо более простой способ решения обратной задачи теплопроводности. Предлагается решать задачу Коши
“<»•*>=№>• (5)
и решение и(Т, X) считать теми начальными данными, которые при решении прямой задачи через время T дают результат, близкий к заданной функции /(х). Механизм, обеспечивающий «устойчивость» этой процедуры, т.е. отсечение высоких гармоник, почти очевиден.
Разлагая /(х) в ряд Фурье, выпишем решение (5):
U.(t, Al) = 2 С^екглгі-ск4лі sjn (6)
Достаточно высокие гармоники (при є&2л2» 1) оказываются уже сильно затухающими, решение обратной задачи получается фор-
§ 25] НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ 407
мально гладким. Ho е — малый параметр, влияние которого имеет противоречивый характер. При слишком малом е решение содержит быстро растущие компоненты и некорректность практически сохраняется. При слишком большом E решение сильно искажается. Что можно получить на этом пути, заранее сказать нельзя, надо оценивать соотношение этих факторов.
Проведе^ такую оценку в первом приближении, заметив, что безусловно сильной стороной этого подхода является его простота. Задача сводится к решению (методом сеток, например) уравнения, немногим более сложного, чем уравнение теплопроводности. Вычислительная цена такого решения неизмеримо ниже цены тех вычислений, которые были обсуждены выше. Ho это достоинство ничего не стоит, если результаты окажутся неудовлетворительными. Приступим к оценкам.
Имеем функцию ит(х) (точное, искомое решение). Разложим ее в ряд Фурье:
uT = 2СЛ, <р*= Sin (*ях).
С начальными данными Ut(X) решим прямую задачу теплопроводности. При t = T имеем
/,(х) = и(Т,х) cke-k^Tfk к
Внесем в /т «погрешности измерения» и превратим ее в функцию /(*) = S (cke-^T + 6к) Vk
Решая регуляризованную обратную задачу теплопроводности (5) с начальными данными f(x) и параметром е, получаем
и*(х) =2 (cke~«**T + 6*)^1--2*2)? =
= 2 СЛ - 2 (1 - е-^к*г)ск«рА + 2
В решении задачи и* выделены три основные компоненты: точное решение ит(х), погрешность регуляризации (вторая сумма) и «погрешность некорректности» (третья сумма). Положим, для определенности, (IитIl = I, 7 = 0.01, 6 = 0.01 и вычислим при разных є значения
rk = 1 — е~гл'к'т\ qk = 0.01^2^-^2^7.
Они имеют простой содержательный смысл. Если, например, ит = >рА, то в функции и(х) погрешность регуляризации достигает величины гк. Если функция fT(x) возмущена только членом 6А<рА, то он дает вклад в погрешность восстановления порядка qk.
408
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
В табл. 15 представлены значения этих величин. При к-* °° величина при к 1/V2л2е величина qk достигает максимально-
го значения 6<?г/4е.
Прокомментируем табл. 15, приняв не очень высокие требования к точности восстановления ит (будем считать допустимой погрешность порядка 10%).
При є = 5- IO-3 погрешность некорректности дк достаточно мала, но погрешность регуляризации гк такова, что удовлетворительный
Таблица 15
е к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5-Ю-3 г Q 0.005 0.01 0.074 0.014 0.32 0.016 0.71 0.014 0.95 0.006
10~3 г Q 0.001 0.01 0.015 0.015 0.076 0.022 0.22 0.038 0.46 0.064 0.71 0.10 0.90 0.12 0.10
7.5-IO-4 г Q 7-Ю-4 0.01 0.01 0.015 0.06 0.023 0.17 0.04 0.36 0.075 0.61 0.14 0.82 0.22 0.28 0.25
5-Ю-4 г Q 4-IO"4 0.01 0.008 0.015 0.038 0.023 0.11 0.042 0.26 0.09 0.46 0.19 0.69 0.39 0.86 0.75 0.96 1.21 1.5 1.2
результат получается лишь в случае, когда функция ит состоит из двух первых гармоник.
При є = IO-3 погрешность некорректности qk достигает 10 %, функция ит может состоять из двух-трех первых гармоник.
При є = 7.5- IO-4 функция ит может состоять из трех первых гармоник, но погрешность некорректности qk может достигать 25 %.
При Є = 5' 10“4 функция ит может состоять из четырех первых гармоник, но погрешность некорректности qk может все испортить.
И т.д.
Заметим, что вышеприведенные результаты существенно связаны со значением 6 = 0.01. При меньших 6 можно в принципе использовать и меньшие є, однако, например, при є = IO-4 максимальное значение max qk я» ^23 я» Se2s^ д-1011, так что далеко здесь не продвинешься. Правда, есть еще один резерв регуляризации — проведение расчетов в пространстве, базис в котором составляют несколько первых гармоник (к = 10, например). Этот резерв
