Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
[Ч. II
подхода имеют свои основания. Если оценка погрешности реальна, то, видимо, полезной информацией является упоминавшийся выше коридор. Если же (а такое тоже часто бывает) оценка погрешности сильно завышена и фактическая погрешность может быть существенно меньшей, функция f(x) несет большую информацию, чем 6-коридор около нее, и рекомендации метода квазирешений будут предпочтительнее.
Перейдем к обсуждению условия в), в котором величина W — это априорная оценка вариации искомого ответа. Если мы ограничимся только условием б), решение будет принципиально неединственным и эта неединственность будет очень сильной. Прообраз «коридора» в отображении начальных данных прямой задачи в решение при t = T состоит из множества функций, сильно отличающихся друг от друга. Можно взять какую-то функцию, отображающуюся в коридор, добавить к ней A sin (кжх) с большим значением А при, соответственно, большом к. Эти новые начальные данные отображаются, в сущности, в тот же коридор. Методы решения таких обратных некорректных задач основаны на том, что в постановку задачи вводится качественная информация об искомом решении, которая, так сказать, отсекает высокие гармоники.
Другими словами, мы рассматриваем пересечение прообраза коридора с множеством достаточно хороших функций, таких, каким, по имеющимся априорным сведениям, решение могло бы быть (множество корректности по Тихонову). В данном случае мы задаем это множество ограничением вариации искомой функции — числом W. При этом, как нетрудно понять, отсекаются функции с очень частыми колебаниями (при заметной их амплитуде), но не отсекаются разрывные функции. И если последние по каким-то причинам нужно оставить (априорные данные о решении не исключают разрывных функций), то такой способ очень удобен. Правда, с вычислительной точки зрения он достаточно сложен: приходится использовать непростые алгоритмы решения задачи математического программирования. Конечно, в реальных задачах точное значение W едва ли известно (ниже мы еще вернемся к обсуждению роли этой величины в процессе решения). Обозначим: M(W) — множество функций с вариацией, не превосходящей W, D — полный прообраз коридора. Итак, пока на роль решения может претендовать любая функция из множества Jt = D П M(W).
Обсудим теперь роль условия а), где q(x) — «произвольная» функция. Формально это условие выбирает из возможных претендентов на роль решения какое-то одно, определяемое заданием д(х). Само множество Jt может оказаться настолько широким, что решение задачи с «точностью до л» не всегда имеет смысл. При решении обратной некорректной задачи обычно имеется (хотя часто явно не фигурирует в постановке задачи) некоторое представление о том, с какой погрешностью є (в подходящей
§25]
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
405
норме) необходим ответ. Если все функции, входящие в л, различаются не более чем на є, любой элемент этого множества может считаться решением задачи. Если же в нем имеются элементы, различающиеся на величину, существенно бблыпую є, следует признать априорную информацию, используемую в решении, недостаточной и отказаться (при таком уровне априорной информированности) от решения задачи. Однако множество претендентов на звание «решения» описано не очень эффективно: его не так-то просто просмотреть и оценить. Для того чтобы иметь хоть какую-то информацию о нем, и вводится условие а).
Решая задачу с разными q (например, q^x) = I, q2(x) = —1 и т.п.), мы будем получать различные крайние точки множества Jt, что позволит составить хоть какое-то представление о его размерах. Полезным при этом является предъявление «физику» различных функций, каждая из которых может быть решением. Конкретные примеры возможных решений задачи часто содержат внешние
Рис. 45
дефекты, которых, по мнению физика, настоящее решение не должно иметь. В этом случае могут быть сформулированы дополнительные требования к решению, которые включаются в постановку задачи, решается новая, более сложная задача, и т.д. Опыт показывает, что такое извлечение априорной информации из «физика» успешнее проходит при предъявлении ему «решений», удовлетворяющих всем сформулированным им требованиям, но отвергаемого по каким-то интуитивным соображениям.
Перейдем к обсуждению результатов решения задачи. На рис. 45 представлены восемь функций, полученных с помощью достаточно сложного алгоритма (см. § 28). Они соответствуют разным значениям параметров, входящих в определение множества М, т.е. в постановку задачи математического программирования. Таких параметров четыре: q(x), W, 6 и V, входящий в условие
406
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
v(x) З* V. Таблица 14 содержит значения параметров, соответствующие решениям, представленным на рис. 45.
Вышеприведенный вычислительный эксперимент преследует несколько целей. Многие параметры, входящие в априорную информа-
Таблица 14
а б в е д е ж 3
q(x) 1 1 -X -1 -1 -1 -1 -1
W 3.2 2.2 3.0 3.0 3.0 2.2 1.8 1.8
5 0.015 0.015 0.015 0.0075 0.015 0.015 0.015 0.015
