Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
H tf\ 0.26e-'4jtf
1 + /3,3/= — 7Ofа '
т. е. соответствующая система имеет второй порядок, фактор затухания равен 0,2, резонансная частота 0,12 гц, усиление на нулевой частоте 0,26 и задержка равна двум интервалам отсчета, т. е. 1 сек.
Частотная характеристика между сдвинутым по фазе током и напряжением. Из рис. 11.12 и 11.16 находим
H (К _ Q,22e-'6"f
32 Kl> (1 +/125/)(1+/25/- 625/2) "
Соответствующая система составлена из системы второго порядка с фактором затухания 0,5, резонансной частотой 0,04 гц, усилением на нулевой частоте 0,22 и задержкой 1,5 сек и системы первого порядка с постоянной времени 20 сек.
Следует подчеркнуть, что графическое оценивание параметров этих систем, которым мы пользовались, не очень эффективно. Поэтому полученные таким путем модели следует рассматривать как пробные модели, которые затем, если потребуется, нужно тщательнее подогнать к данным с помощью параметрических методов. Примеры подобных методов мы проиллюстрировали в гл. 5. Впрочем, для многих задач регулирования достаточно графиков функций усиления и фазы, приведенных на рис. 11.9—11.16.
ЛИТЕРАТУРА
1. Anderson Т. W., Introduction to Multivariate Statistical Analysis, John Wiley, New York, 1958. (Русский перевод: Т. Андерсон, Введение в многомерный статистический анализ, Физматгиз, M., 1963.)
2. Stanton К. N., Estimation of turbo-alternator transfer functions using normal operating data, Proc. Inst. Electr. Engrs., 112, 9, 1713 (1965).
3. Stanton K. N., Measurement of turbo-alternator transfer functions using normal operating data, Proc. Inst. Electr. Engrs., 110, 11, 2001 (1963).
ПРИЛОЖЕНИЕ П11.1 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ
Собственные значения Я,-, / = 1, N1 и соответствующие
правосторонние собственные векторы г* матрицы А по определению должны удовлетворять уравнению
ATi = K1T1. (П11.І.І)
Уравнения (Ш 1.1.1) можно записать в скалярной форме:
aWr\l + «)2r2t + ••• +a\NrNi =^ir\h
a2lrH + a22r2i + ... +a2NrNi = Ktr2l,
aN\r\i + aN2r1i + • • • + aNNrNi = KrNt-
Геометрически (П11.1.1) означает, что в W-мерном векторном пространстве векторы г,-, i=l, N, инвариантны при линейном преобразовании А. Инвариантным правосторонним векторам г,-соответствует двойственная, или сопряженная, система векторов I,, удовлетворяющих левосторонним уравнениям
IfA = Ы1 (П 11.1.2)
Можно показать, что левосторонние векторы ортогональны к правосторонним. Умножая справа (П 11.1.2) на Г;, получаем
IJAr7 = ^r,.
Отсюда с помощью (П 11.1.1)
(a1-x7)IJr7 = o.
Предполагая, что собственные значения различны, отсюда получаем
1^г;. = 0, если іФі, IJr.^O, если / = /.
При соответствующей нормировке векторов будем иметь
Hr,= 1.
280
Глава It
т. е. правосторонние и левосторонние векторы ортонормальны. Если собственные векторы объединить в матрицы LhR
L = (I1, I2.....In) и R = (r,.....Гд,),
у которых столбцы образованы соответственно левосторонними и правосторонними векторами матрицы А, то приведенные выше условия ортонормальности можно записать в виде
LR = I, (П11.1.3)
где I — единичная матрица, имеющая на главной диагонали единицы, а на остальных местах нули.
Симметричные матрицы. Матрица ковариации набора действительных случайных величин действительна и симметрична. Поэтому ее собственные значения действительны, собственные векторы ортогональны и, следовательно, матрицы LhR являются ортогональными. Из последнего свойства следует, что различные векторы, инвариантные при преобразовании, ортогональны. Чтобы показать это, удобно записать равенства (ПИ.1.1) и (П11.1.2) в матричной форме
AR = RA, (П11.1.4)
где А — диагональная матрица, образованная собственными значениями. Аналогично,
L'A = AL'. (Ш 1.1.5)
Транспонируя матрицы в (011.1.5) и пользуясь тем, что А' = А и L' = L, получаем
AL' = L'A.
Сравнивая это равенство с (П11.1.4), находим
R = L',
и (П11.1.3) переходит в
LL' = I = R'R, (Ш 1,1.6)
т. е. собственные векторы ортогональны. Отсюда, умножая (П11.1.4) слева на R', получаем
R7AR = R7RA = A. (ГШ. 1.7)
Геометрический смысл равенства (011.1.7) для симметричной А состоит в том, что квадратичная форма
у'Ау = С (ПИ.1.8)
задает в многомерном пространстве поверхность эллипсоида,оси которого проходят через начало координат. После преобразования
y = Rx (Ш 1.1.9)
Многомерный спектральный анализ
281
равенство (П.11.1.8) переходите
x'R'ARx = C,
т. е.
х'Лх = С
или
А,*2 + Ъ.2х\ + ... + V« = С-
Следовательно, эллипсоид преобразуется к каноническому виду с помощью преобразования (011.1.9), а собственные значения равны квадратам обратных длин главных осей эллипсоида.
ПРИЛОЖЕНИЕ П11.2
ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ МНОГОМЕРНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Ниже приводится логическая схема вычислительной программы MULTSPEC, входными данными для которой служат выборочные оценки ковариации двух входных рядов X\(t), X2(t) и двух выходных рядов X3(t), X4(t). Программа вычисляет частотные характеристики #31, #32, #41, #42, связывающие эти ряды. Предусмотрен вывод на печать основных функций, но более важными являются графики этих функций. Вывод на график состоит из всех автоспектров (в логарифмическом масштабе, в зависимости от частоты); обоих спектров остаточных ошибок (в логарифмическом масштабе, в зависимости от частоты); квадратов спектров всех полных и частных когерентностей и графиков всех функций усиления и фазы, причем для каждого спектра на одном рисунке строятся графики, соответствующие всем выбранным точкам отсечения.
