Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
I ro
+2?(л-'-^?) (?+?*),*! (6)
o. /
$12] ЦИЛИНДР, ВЫВЕРНУТЫЙ НАИЗНАНКУ 297
формула (5) после замены R2 его выражением по (2) переписывается еще в
виде
Мад-МЩ = 2^(Л-? + |.)(1+г^)$. (7)
Г о
Уравнениями (6) и (7) определяются неизвестные постоянные А, В.
При неподвижных торцах, когда цилиндр помещен между двумя твердыми
гладкими плитами, F = A = 1 и уравнению (7) придается вид
о
Or (Я.) - о в (Я,) - В j (1 + р (/"/,)$,
<8>
причем [г(3, 3) = [г - модуль сдвига в отсчетной конфигурации. При
свободных торцах Q--0.
§ 12. Цилиндр, вывернутый наизнанку
Принимается, что в этом состоянии отсутствуют нормальные напряжения на
поверхностях цилиндра (or(R0) = or{R1) ^0), отсутствует и продольная сила
(Q = 0). Обозначив - Л=Р>0, по (11.5) имеем
Ri
dR ( г2 \ / дэ , дэ\ " m
Я \Я2 Р2/-2) V д/, +5/J ( )
Условие Q = 0 после замены da/dr в (11.6) по (11.3) приводится к виду
о U2 P2r2J 1|J dh + dlj R -
Но
= т!'(Р"-рЙ (? + ??>"• <2)
Но
После введения переменной интегрирования
1 = % (3)
Имеем
1 ^ Я2я" _ 7, , 6\
298 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
Уравнению (1) придается вид
+ = <4>
Здесь x0--=R0/r0, xJ- = Rjr1 и по (11.2)
/?S+prS = /e!+prf,
Д^ + Р = (1 + б) (jcf + p), а2 = (1+6)а2 + (36, (5)
причем 14-6 -ri/r|, 6 > 0, так что а2 > (1 -f 6) х\, х%>х1. Уравнение (2)
при этих обозначениях приобретает вид
'х2 X2
Г Р - I fpfi дэ да \d% 2 Г | -134 / дэ , s дэ \ dl
J (HlUJ ^ + (b)
4 4
Задача приведена к определению трех неизвестных х\, х\, |5 из системы
уравнений (4), (5), (6). Исследовать эту систему, не специализируя
задания э(11, 12), вряд ли возможно. Остановимся на случае потенциала
Муни (4.1). Тогда, отбросив в (4) постоянный множитель, после
интегрирования придем к уравнению
J__inJ- = -L I- р 2 2 2
Х0 Xq Xi
in4-. /(4-)=/(-тУ (7)
Xl \ Хо ) \ Xl J
Определенная при положительных X функция / (Я) -- A - In X, оставаясь
оложительной, монотонно убывает (от оо до 1) при 0^А,^1,а при 1 ^7 X ^7
оо монотонно возрастает (от 1 до оо). Поэтому каждому значению А0 = р/х2<
1 уравнение (7) сопоставляет единственное значение А,! - р/х?> 1.
Для неогукова материала (4.3) условие (6) приводит к уравнению
(j +4-)(1 +Л)-2(1+р-3)- (8)
Уравнениями (7), (8) совместно с (5) определяются неизвестные (3, л'2, X2
-наружный и внутренний радиусы вывернутого цилиндра.
Остановимся еще на формулах для напряжения <тф при R = R0 и R = R^ aR = 0
на этих поверхностях и по (9.18), (11.4)
(<тФ)*=*. = 4( +
(0Ф)"=я1=}^у-^(С1р* + Ся)
(9)
§ 13]
ЗАДАЧА ЛЯМЕ ДЛЯ ПОЛОГО ШАРА
299
для материала Муни. Как следовало ожидать, напряжения Сф - растягивающие
на наружной и сжимающие на внутренней поверхности.
§ 13. Задача Ляме для полого шара
Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную определяется формулой
(9.22). По (9.25)
при г0, г1 - внутренний и наружный радиусы сферы в отсчетной
конфигурации. В задаче Ляме е=], q0, qt--внутреннее и наружное давления.
Здесь
и в актуальной конфигурации -наружный, - внутренний радиусы. При е = -1
определяющему совместно с (1) при е=1 неизвестные х\, х\. Легко
проверить, основываясь на выражениях инвариантов
3
xl~ е = (1 +б)(х? - е), 1 + б^-Ц-, б>0, (1)
го
(2)
д?-яг = г2-г?, R,<R^
- это задача о сфере, вывернутой наизнанку.
1. Задача Ляме. По (9.24)
(3)
Введя переменную интегрирования
t _ Rs 1 dl dR
ё г(r)* з|"(1-б)-/г
(4)
приходим к уравнению
+ 21*/,, 7a = gv*' + 2Е-2/3)
что формулу (5) можно записать также в виде
300
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
2. "Выворачивание наизнанку". Теперь R0 ~ наружный, Rг- внутренний
радиус; qB- 0, qL = 0. Неизвестные х\, xl, связанные соотношением (1) при
е = - 1, определяются уравнением
х3
л0
С ds d\ n ^
dll+1
Процесс выворачивания можно представить осуществимым с помощью
протягивания материала через малое отверстие в стенке, вслед за этим
заделываемое.
§ 14. Изгибание листа в цилиндрическую панель
Приняв в формулах (9.1) С = 0, Л = 0ипо (9.2) Е-=(АВ)~1, имеем
R'z = 2Aa1, Ф = Ва*, Z = ~=,Ea3. (1)
Поверхности панели ^0 = ]/2Ла^ = У 2Аа\ не нагружены и
по (9.10)
HIARо). А (?")) = * (А га Ага.
А (Яо) = Ага А(А0) = /2(Аа). (2)
Выражения инвариантов (9.7) приобретают вид
A = § + R*B*+(AB)-\ /2 = |! + ]^ + Л252 (3)
и соотношения (2) удовлетворяются при
+ (4)
Здесь 2а -центральный угол панели (2а при а2 = Ь). Главный вектор
напряжений аф определяется выражением
IE Я, Я,
j dzj ^RoRdR=2lERaR ~1В Я о я
= 0.
§ 14] ИЗГИБАНИЕ ЛИСТА В ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ПАНЕЛЬ 301
Их главный момент относительно оси панели в соответствии с (2) и (9.10)
можно представить выражением
mz = 2El j [R(a-p0) + R*-^
Я"
dR
= 2 El
Я"
¦-2EI
_ L~T
= 2 El
Я, Я,
Po(Ri - Rl) + R29 - j* RadR
Ro Ro
(Rl-RDaVARo), /"(/?")) -J R*dR
Заменив здесь Rlt R0 их значениями и учитывая (4), приходим к выражению
момента
a" + h
mz = 2ly al(al + h)
ha(Ii(R0), 12 (R0)) - J э(1и Ijda1
L
. (5)
Другим его представлением служит равенство
я, |Г я. я,
mz = 21Е J R Rgr dR 2IE R2or - J RoRdR
я,
я" я"
я,
