Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь по (6)
0 0 2 0 дх$
FX = VBT-vB, FX =/"FX -/ое2, VB = io;ip^r, В=Ирл:Р (49)
и по (12), (16)
Тх =
(V11
- 2с Г-4-/4- /° - y-jo +'idl+J*dI3
Были использованы выражения
/^/J + c2, /2=/(r)4-с2У1, в которых 1а - инварианты Fx. Теперь, основываясь
на соотношении 9{h, /*, /s)=s(/l + Ca, ll-rllc\ /3=/"с2),
получаем
дэ дэ , _2 дэ дэ дэ ,
§5]
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
275
Это позволяет представить Тх и tяз в виде
тх - -(/" Е2+ Fx^ , P^-Lr9^, (50)
суi\ \ 2 дЧ д11 J V1% дс
так что
'1<T,%F7!(':l+2's5)+77ri' (5|)
Удельная дополнительная работа э в соответствии с гл. 4, § 17
определяется выражением
~9 = р. . VRт_ э = |/7з?гт.т. . ° R г_3 = СУ'Л11 (Т) _5
и по (51)
(52)
Из выражения тензора Пиола также выделяется его плоская часть Р = с
]СГоугт-Т = Рх + !з!яр'.>з=с^7о^Ьт + 1!з,-з') . (Tx+jgis/33) =
так что
PX_2("|vb'+/;^VB). р°-?- (53)
Обратившись теперь к представлениям тензора Пиола и градиента места
(4.17.1), (4.17.5), имеем
о дхР ~
Р-з0 , yR = i"ip^- + i3i3c=3p (54)
VR
и по определению (II.2.7) производной скаляра по тензорному аргументу
Р = РХ+ 1313/,зз = iaiP-^p + i3i31=^о + Уз ~ ,
VB
°" °_ . . . . .о дэ , . . дэ
VR = VB-|-ci3i3 = iaiP - + i3i
dc
о
так что плоские тензоры Рх и уВ оказались представимыми выражениями
Рх ~эо , VB = .;pX. (55)
VB
Уравнение статики при отсутствии массовых сил и условие существования
вектора В (условие интегрируемости) приводят к соотношениям
0 0 ООО
уРХ = у.э0 =0, уХуВ = уХзрХ = 0. (56)
VB
276
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Условия (56) удовлетворяются, если ввести в рассмотрение "тензор функций
напряжений Пиола"
Ф = 1з'|3фр (а\ а1) ((3 = 1, 2) (57)
и принять
= 2pvX<I> = 2pe^ic/<^
VB да*
(причем с12 -е21 - 1, еи - с22 = 0). Итак,
Px--2a/lv iaiP -. (58)
даУ да1
Возвращаясь теперь к (55)2, имеем
и по (56)2
0 . дх(r) . . дэ дх(r) дэ
-=щ (М)
• V .а. 32а^ . . "уа д дэ
1 Xl lpa^"=,8lp '
Система двух уравнений
va д дэ
при обозначении
№'''21 (М)
г) я
QX = [О ip(?Pa = !gXi"ip - = is X i"ip - (61)
представляет уравнения статики для "тензора Пиола" QX
Приведенные формулы обнаруживают двойственность полей деформации и
напряжения. Плоское поле перемещений в материале с удельной потенциальной
энергией деформации э определяется формулами (47), а напряженное
состояние в нем-формулами
Ф1 = Ф, (а\ а2), ф2 = ф-2 (а1, а2). (63)
Если теперь ввести в рассмотрение "поле перемещений" (63) в материале с
удельной потенциальной энергией "деформации" э, то по (59) поле
напряжений в нем определится формулами (47).
Соответствие полей перемещений и напряжений оказалось возможным
представить таблицей
Материал э Материал э
Поле перемещений Поле напряжений X1, X2 Фг. ф2 фз, ф2 Xх, X2
§6]
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
277
По (51) и (58) имеем также
откуда следуют симметричные представления
а = 2це-'7-^ з, э = 2|ie Y---(¦ - э. (64)
даудаа * даадау К '
Простейшей иллюстрацией может сложить задача в гл. 6, § 9 об изгибании
полосы в цилиндрическую панель. По (58) и формулам (6.9.6), (6.8.14) в
этом случае имеют место представления
ф1 = ,ф (a1)cos %-х2, ф2 = Ф {a1) sin у + х1
и выполняются соотношения
5ф! , Эф2 дх2 .дх1 Эф2 дф] дх1 дх2
да^'да2^- да1 ' да2 ' да1 ~да2~да} ' да2 '
причем
a a1
. , b еХ^ b a a2 , ha
^(fl)=alhf' ~2b'
§ 6. Эффекты второго порядка в задаче о плоской деформации несжимаемого
материала
1. Комплексное представление вектора перемещения D дается выражением
D (г, г) = г - 1(г, z) (1)
и в формулах (5.39), (5.40) следует провести замены
dz~ dz ' qz~ fz ' fz~ ~~dz ' dz~ dz
Далее предполагается, что c= 1 -торцы деформируемого цилиндрического тела
не смещаются в продольном направлении
(*s = a8). Тогда
^ = 2-1/д--Л- - - - (2)
дг2 dlx \дг J dz ' dz gz \дг fa dz dz / ~ ' * '
а инвариант 1\ представляется по (5.41) выражением
7о = 2 + 4f|. (3)
При
разыскании эффектов второго порядка полагаем
U = U" + UU D = D0 + DU (4)
278
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
удерживая в последующих соотношениях квадратичные по D0 и линейные по D,
слагаемые. Получаем по (3) и (5.21) в требуемом приближении
, , vdDJLdD1 v 9(d^\ dl, ~dl,+dlt dz ' K z\dl\)il= 2
и no (2) уравнения первого и второго приближения приводятся к виду
^ = (tm)SL+dJh-_^ о, (5)
dz2 г дг дг дг
d2(J, дБ, . dD0dD0 dD, .dD, dDndD0 dDadD-0
dz2 ^ дг ^ dz dz ' dz g~d dz g~z g^ dz ' '
Эти уравнения имеют единый вид для всех несжимаемых материалов - знание
постоянной к не требуется для определения U,, D,.
Уравнение (5)- уравнение плоской задачи линейной теории несжимаемого
материала (с коэффициентом Пуассона v-1/2). В ней (/" и D0 представляются
через две аналитические функции-потенциалы Мусхелишвили
= - j (г) + г(Ро (г) + Хо (г) +Хо (г)], ^
2[iD0 = ф0 (г) - гфо (г) -|- ф0 (г),
причем ф0(2) = Хо(2)- Эти выражения, как легко проверить, согласуются с
(5). Потенциалы'' ф0 (z), ф0 (г) определяются решением линейной краевой
задачи.
Уравнение (6)х интегрируется
^-1 + pDx = р | ^ ^ dz + ^). (8)
Далее имеем, используя также (5)2,
