Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
постоянным; поэтому ограничено число краевых задач, доступных
рассмотрению с помощью этих решений. Допускается выполнение требования
отсутствия нагружения на "основных поверхностях" или наличия на них
только равномерно распределенных нормальных напряжений. На остальных
границах приходится довольствоваться интегральным выполнением краевых
условий ("в смысле Сен-Венана"),
Значение этих решений состоит не только в их "универсальности", иначе
говоря, в представлениях общих для всех изотропных несжимаемых материалов
и поэтому пригодных для любого материала, если известна зависимость
удельной потенциальной энергии его от инвариантов меры деформации. Они
подкупают простотой, наглядностью и неожиданностью результатов,
заставляют отказаться от некоторых привычных представлений линейной
теории, сделать ненужными построения необъяснимых этой теорией явлений,
оставаясь в ее рамках.
Решения рассматриваемых ниже задач, как говорилось выше, впервые даны в
основополагающих работах Ривлина; значение выдающегося исследования
Эриксена скорее "отрицательно"-¦ показана бесперспективность поиска новых
"универсальных" решений, не включенных в перечень 1-4, дополненный
решением 5.
В последующих параграфах рассмотрены применения решений перечня 1-4 к
частным задачам.
§ 10. Кручение, растяжение, изменение диаметра круглого цилиндра
В формулах преобразования (9.14) принимается
В = 0, С= 1, Е - 0; AF=- 1;
R = V"Ar, Ф-ф + Dz, Z= Fz. (1)
Постоянная F определяет изменение длины цилиндра (L = Fl)\ V Аа = R0 -
радиус цилиндра в актуальной, а -в отсчетной конфигурации; через
a -D/F обозначается угол кручения на еди-
ницу длины (La = ?>/).
294 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
При ненагруженной поверхности цилиндра (р0 = 0) формулы
(9.17) для компонент напряжения преобразуются к виду
а* = -2а'/^ ^RdR, ci* = ±RoK,
R" (^)
0 о г. г>, d.9 F3 - \дэ 1 дэ
aZ-°R - 2а FR RR ^'RaFF3 OR ' Тгф~а'dR'
так как в рассматриваемом случае
Й-и*" (?'+&)¦
Постоянные аир определяются по заданию крутящего момента mz и продольной
силы Q
Ro
mz = 2л j Я*т2Ф<Н? = |^ ~R4R=^
"о
P023(P0)-J
о
Q ¦= 2л J ozR dR - 2л [э (R0) - э (0)] -
0
(йТ + II)(tm)*- И)
2я
а
(3)
о
Здесь двойной интеграл был преобразован в одинарный; через s(R0), э(0)
обозначены значения э(/1( /2) на поверхности и на оси цилиндра.
Если длина цилиндра остается неизменной, то F-- 1 и
Q , -2ш* J R- ( * + 2 ?) dR (tm) - 2лаа $ r-(*+2 dr. (5)
0 0
Цилиндр в соответствии с эмпирическим критерием (5.11.3) сжат.
При отсутствии продольной силы (торцы цилиндра свободны)
a2F3 t5 (Ro) - э (°)] = К2Р j"
о
=2^Г(ж+Цт>"="у1 (йт+Ш*'(r)' (6)
§ 11] ЗЛДЛЧЛ ЛЯМЕ ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА 295
откуда следует, что F- 1 имеет порядок а2. Учитывая величины лишь этого
порядка, имеем, сославшись на (3.3),
Ийт+гяЙ'Н =3<f-"(s:+t;)v=
F=L
I1
3(?-1) а2
- нуликом указывается на замену 1}, /2 их значениями 1г = =/2 = 3 в
отсчетной конфигурации. С этой степенью точности по (6)
ьД^)")- (7)
Это соотношение соответствует наблюденному Пойтингом эффекту изменения
длины проволоки при кручении, необъяснимому линейной теорией -в формулу
(7) входит не учитываемая этой теорией величина.
Для материала Муни формулы (4.1), (3), (4) при свободных торцах приводят
к соотношениям
т =9Г (г a f3-1 СП C2!F _ (qq)2 / _ яо) \
z 11 р ^1+ р ) а' p-i cl+2C2/F' 4 V Р~ '2 J' ( ^
§ 11. Задача Ляме для полого цилиндра
Применяется то же решение (9.14), в нем теперь С= 1, D = 0, ? = 0, R2 =
Ar2 + B, Ф = ф, Z = AF = 1.
(1)
Постоянная В выражается через радиусы (г0, /у) и (R", RR в отсчетной и
актуальной конфигурациях цилиндра (г0 -внутренний, гi - наружный радиус;
г? = Го (1 + 6), б > 0)
В = R2 - Аг2 = Rl - Ar\ = R\ - Аг\,
Rt-Rt = A(rt-^rl) = Abrl (2)
При Л>0 > R0 и Ri~ наружный, R0 - внутренний радиусы
в актуальной конфигурации: рассматриваемый в § 12 случай ^ < 0
представляет задачу о "вывернутом наизнанку цилиндре".
|По (9.17) и (1) касательное напряжение tz<d отсутствует, нормальные
напряжения равны
29G НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
Здесь
Ii(F) = A*?2 + ^ + A-*, /2(F) = |^-f^-M2
и имея в виду, что R dR = Аг dr, получаем
f r^____ЯП (RA A*\ _AB2(r* R2 \
dR \R2 A2r2) V г2 г ) ' г2 R \R2 A2r2) '
dl_2 a -2dR Jl (/Ч>
dR dR' dR Ar2R\R2 A2r2 j \n dl^ dl2) ' {J
Это позволяет представить aR также в виде
д д
с Г dR (г2 R2 \( А"дэ . дэ\ А f " йз ,п
or [ji -Azr2) [ A dT^dll) P° ~~ 2Гj r Zr Ro'
Ro R о
(4)
причем p0 = - csR (R0) - давление на внутренней поверхности цилиндра. Его
значение на наружной поверхности обозначается Pi = ~Or(Ri), так что
До
<уЖ)-°ит=-я§ r2$dR-
До
" f dR ( Г2 R2 \( ,2 дэ , дэ\ ,,,
= -2 -5- 02 - 75Г* Л яГ+яГ ¦ (5)
R \ R2 А2г2 j\ dR ' dli
До
Продольная сила определяется выражением R,
Q = 2л Ц RazdR -
До
г о о
- 2 пА
1аДгй!г+2|(Л 2~A*h) {dl~1Jr7*ZT3)rdr \
г" Го 3
преобразуемым по (4) и (5) после замены aR его выражением и замены
двойного интеграла одинарным к виду
{ А г' -
Q = 2nA j 1 ["й {R0) - r\aR (RJ] -f ^ j % r4 dr +
