Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 280

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 274 275 276 277 278 279 < 280 > 281 282 283 284 285 286 .. 942 >> Следующая

Томсона (1.14.16) в движениях с постоянной во времени циркуляцией вектора
скорости
ft R-dR = const. (4)
г
Квазиуравновешенное движение динамически возможно тогда и только тогда,
когда по определяемому в нем вектору места может быть найден однозначный
потенциал ускорений -выполнено условие (4). При этом условии тензор
напряжений определяется уравнением
Т = Р?Е + Т, (5)
причем Т - общее представление тензора напряжений, соответствующего
равновесию в момент t.
306 несжимаемый упругий материал (ГЛ. 7
2. О потенциале ускорений. Равенство (4) - необходимое и достаточное
условие существования потенциала ускорений. Достаточным является
равенство нулю циркуляции скорости, тогда движение безвихревое и
потенциальное
V х v = 0, v = V/ = R5 - х, V-v = 0, V2y = 0.
dq*
Здесь % - потенциал скоростей и по нему вычисляется потенциал ускорений ?
= V^-Vv.R'|C = v|i-Vv.v-v(f_^.
Была использована формула (1.10.5). Итак, при существовании потенциала
скоростей потенциал ускорений с точностью до аддитивной функции времени
представляется выражением
?=|ЬД*. (6)
3. Примеры, а) Аффинное преобразование. В этом случае
R = c(/) + r-A(tf), detA^O. v = с + г- A (i) = с + (R - с) А-1-А
и далее, обозначив w - сопутствующий тензору А-1-А вектор, имеем (1.11.1)
V х v = V х R-A-1-A=R-? х R^ ¦ (А-1 ¦ A)ranR"Rn -
= (R*XR") (А~'-А)гп = -2а>
и достаточным условием существования потенциала ? является симметричность
тензора А'1-А
(о = 0: А"1-А = (А-1-А)т, AT = A"1-A.AT. (7)
Например, при деформации простого сдвига это условие не выполнено
A = E + i2i1s, A_1 = E~i2i1s,
A-1-А = (Е -i2i1s)-i2i1s= i^s, 2о> = i3s^0. Необходимое и достаточное
условие определяется равенствами b = c + r-A(0 = c + (R -с) А-1-А(0,
Ат = А-1-А-Ат (8)
и потенциал ускорения представляется выражением
? - у R- A-1- A - R ф- (с -с - А-1 • A). R. (9)
§ 16]
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
307
б) Преобразование полого цилиндра в полый цилиндр, сохраняющее осевой
размер. В формулах (11.4)
Я2 = г2 + Л, Ф-ф, Z -z, R = e*l/r2 + Л + kz
и, учитывая, что е^ефФ--= 0, имеем
v " 2R и по (4)
eR=^^Vlni?, х=о-Л1п#
ЁХ_1 Л In ^ - 2 ^ 1 ^ ^ 4 Я2
?=т (Л1п^+тж) •
(10)
Вместе с тем
Л /4 -Ф, .1 2А\,/^Г1. Л=2(Я0Я0 + Я2)
и поэтому
Я,
R
v RoeR' Х=у RoRolni?2, S = y
(R0?0 + R2lnR2)+^ (1
)
в) Преобразование полого цилиндра в полый, когда осевой размер не
сохраняется. По (11.1) теперь
R2 = Ar2 + B, Ф = ср, Z = A~1z\ R = Ren + k4,
v = i?en + kZ==4-
e" TZ k,
1
4) InR + T-j^1
потенциал ускорений, определяемый по (4), оказывается равным 1 ( А Л2
? =
+
4 2Л2
^ / Д ?-б) + (? - \в
1т(в-4-вУ +
8R2 V 71 ~А
(12)
г) Центрально-симметричное преобразование полой сферы.
По (9.22)
R3 = r3 + A, 0 = 0, А=Я;
R = ReR, v = Re^=-g^Tes,
%'
¦W <13>
и по (4)
А2
1 А
'18R* 3 R
(rr+?&•).
(14)
308
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
§ 17. Дифференциальные уравнения Лагранжа для параметров в универсальных
решениях
Уравнения (16.2) определяют тензор напряжений через мате-
риальные"координаты и входящие в представление вектора места R параметры
А, В, С и т. д., далее здесь обозначаемые р,06, и их первые и вторые
производные по времени. Дифференциальные уравнения, их определяющие,
диктуются краевыми условиями подобно тому, как получались конечные
соотношения между ними в"§§ 10-15. Но представляется, что проще ведет к
цели прием составления этих! уравнений, использующий принцип Гамильтона -
Остроградского.
Задание вектора места
R = R(<7\ q2, q3\ р") (1)
определяет представления его вариации, вектора скорости и кинетической
энергии
си 3R с ~ 3R
°R = Я-ОЦ , v= г-м"
<2>
Вспомнив также выражение вариации лагранжиана
d дХ дХ др" ~dj?
и следуя (2.24), можно теперь записать выражение принципа Гамильтона в
виде
U 'v" о, ^
В несжимаемой среде, сославшись на (1.10.18), имеем
/3=/3у.у = У.у = цаУ-^- = 0, V--^- = 0
33 г дца ар06
и слагаемое в (4)
(5)
Нет нужды включать его в выражение принципа, когда р" - независимые
параметры; отпадает необходимость вводить множитель связи. Выражению (4)
придается вид
= (з)
§18] РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБКИ 309
Заметим еще, что вектор ускорения и условие существования потенциала
ускорения можно представить выражениями
, dR . d2R
Ь = -7Г Ц Ч й-г р р ,
dp dp dp^ ^
d** I d2R'a-B\ _ о
vxUp^ +dp%^fAy u-
§ 18. Радиальные колебания цилиндрической трубки
Предполагается, что трубка помещена между двумя гладкими плитами, не
допускающими осевых перемещений, но не препятствующими радиальным
смещениям стенки на торцах.
В обозначениях § 11 при А =1
В = Я*-Гг-=Я1-Г1 = т-гЪ R = Re.H = Y В -f-r2 ед + кг. (1)
Параметр В -искомая функция времени; В> - г\ при любом t, в отсчетной
конфигурации В = 0. 'Вектор скорости и кинетическая энергия трубки равны
V= 2^"^еД'
Ж = ~ я/рВ21п ^==j- л/рВЧп • (2)
Потенциальная энергия деформации трубки определяется выражением *)
R'1 , г2 , . " . В2
П (В) - 2л/ j* э (1г, 12) г dr, Л -
3-
(г2 + В) г2 '
и
(3)
так что П(0) ~0. Производная П'(В) оказывается равной
Предыдущая << 1 .. 274 275 276 277 278 279 < 280 > 281 282 283 284 285 286 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed