Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
?, = ?„ cos ю(*—, (14)
отраженное поле
Ег = — rE0 cos со (^t—(15)
и проникшее через пластину поле
Et = *0cos<o (* —7) • (16)
Из закона сохранения энергии имеем
г?Е
гЧЕп
r4Efl
r2-W2=l.
(17)
i=0
Рис. 5.
Как можно описать действие пары аналогичных пластин с пазами? Существуют два способа решения этой проблемы. Первый — через многократное отражение парциальных волн. Этот способ применим только, пока пластины не имеют потерь. Чтобы упростить математический расчет, мы используем комплексные переменные и в окончательном результате возьмем действительную часть.
На рис. 5 показаны две параллельные пластины, отстоящие друг от друга на расстояние Ь. Если у нас есть начальное поле ?о, то переданное поле можно записать так:
Ет = РЕйешУ-гЮ (l_[_rae-B/<aL/c _|_r4e-4/«L/c_|_ _ t
(18)
Уравнения (18) содержат бесконечный ряд, сумма которого вычисляется как сумма геометрической прогрессии
1
1+а + аа + а3+ .. Таким образом, мы получаем
i (at-г/с)
1-а
1— тЧ
2„-2iU)L/C
t*Eat
(19)
(20)
причем только действительная часть уравнения (20) имеет значение. Заметьте, что, когда показатель степени в знаменателе удовлетворяет соотношению
— = 2лл,
с '
или L = ^ пкц,
(21) 167
мы получаем
1-
?о?Їч> {і -г/с) _ ?ие'?0 (/-х/с)
(22)
В этом случае имеет место полная передача энергии через пластины, как если бы никаких пластин не было. Для других расстояний такого гашения в знаменателе нет, и доля переданного поля определяется членом і2Е0.
Другой способ решения этой задачи заключается в следующем: представим, что у нас есть пять волн, как показано на рис. 6. Условия, которые связывают эти волны,— это так называемые «граничные условия» на двух пластинах. Анализ рис. 6 упрощается, если
Е,
1=0 г=/
Рис. 6.
4,
\С с
Г I
2=0 Е=Ь
Рис. 7.
рассматривать свободное пространство как линию передачи с характеристическим сопротивлением Я0, а каждую пластину — как емкость С на линии (см. рис. 7).
Волна, падающая слева, будет частично пропущена и частично отражена. В промежутке между пластинами будут волны, распространяющиеся как направо, так и налево. При г=0 и г=Ь граничное условие заключается в том, что напряжение непрерывно, а ток имеет скачок, равный / = С йУ/Ш, т. е. току через шунтирующий конденсатор. Таким образом, мы можем написать четыре уравнения, которые позволяют определить Еи Е2, Ек и Ет через Е1. Этот путь несколько длинен, и здесь мы не будем ему следовать. Результаты идентичны с результатами, полученными для парциальных волн, до тех пор, пока нет потерь, которые связывают волны.
Полностью, а не по аналогии задача для свободного пространства может быть решена через электрические и магнитные поля Е и В. Уравнения непрерывности напряжения и тока должны быть заменены уравнениями непрерывности Е и В.
При изменении расстояния между пластинами максимумы передачи мощности соответствуют расстояниям, составляющим I; 8/2; 2... длины волны Я в свободном пространстве. Определите длину волны в свободном пространстве и вычислите частоту по нескольким положениям пластин.
Теперь рассмотрим распространение электромагнитных волн в канале, показанном на рис. 8. Плоская электромагнитная волна не может распространяться в таком канале, поскольку электри-
168
ческое поле у поверхности металла должно равняться нулю. Волну в таком канале можно рассматривать как наложение двух плоских волн. Чтобы показать это, возьмем две плоские волны с волновыми векторами пг и п2, направленными под углами + т> и —§ к оси 2,
Рис. 8. Рис. 9.
как изображено на рис. 9. Электрическое поле можно записать так: Еу = Е0 cos (со*—2л ^i-) -f Е0 cos ( ®t — 2л ) . (23)
Скалярные произведения, содержащие волновые векторы, можно записать следующим образом:
пь *r = z cos Ф -f х sin ft, (24)
п2 • г ¦= z cos —х sin (25)
Используя тригонометрическое тождество
cos А + cos В = 2 cos i- (А + В) cos i- (Л —В), (25)
можно выразить электрическое поле в виде
Е — 2?0 cos (^(at—~ z cos <& j cos jc sin 0^ . (27)
.. аметьте, что электрическое поле равно нулю при условии
*sinO = ±i-^ (28)
и если длина волны вдоль канала равна
Итак, мы можем распространять электромагнитную энергию по каналу с шириной а следующим образом. Мы вводим плоскую электромагнитную волну в канал с наклоном +0 к направлению
169
721??8945757
канала, причем
5ш» = Ь, (30)
как показано на рис. 10.
Исходя из построения Гюйгенса для волнового фронта, можно убедиться, что отражение от стенок канала вызывает аналогичную волну с волновым вектором, направленным под углом —Интерференция между двумя волнами создает затем электрическое поле, выраженное уравнением (27). Исключая О из уравнений (29) и (30), мы
р^Ч/ч "х^х/^ ^^К/* можем связать длину волны в
/ канале "к с длиной волны в свободном пространстве Я0 и шириной а:
Рис. 10.
Имеется и другой путь получения уравнения (27), который следует из уравнения для волн на листах, т. е. из уравнения (37) П.2.8. Как мы уже видели, можно заменить заряд (2 напряжением V и напряжение V электрическим полем Е и получить для свободного пространства
