Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
<32>
Предположим, что электрическое поле можно записать в виде
Е = Е(дг) сое (со/— ^ г). (33)
Если мы подставим решение (33) в уравнение (32) и упростим наши результаты, то получим
(к)'^-(1Г*)*«- (34)
Мы ищем решение с условием, что Е(х)~0 при х = ±а/2. Простейшее решение есть
?(х) = Я0соз^. (35)
а
Подстановкой в уравнение (34) получаем выражение, идентичное уравнению (31). Поле Е, полученное таким путем, совпадает с полем (27). Способ многократно отраженных плоских волн можно использовать только в том случае, когда волна ограничена плоскими отражающими поверхностями. Второй способ, который использует волновое уравнение, является более общим.
170
Чтобы измерить длину волны в канале, применим устройство, изображенное на рис. 11. Мы используем пластины с пазами и, кроме того, пару экранов для ограничения бокового распространения волн. Найдите различные комбинации расстояний между пластинами УгХ и расстояний между экранами а, которые приводят к передаче энергии. Можете использовать экраны различной длины, чтобы получить набор значений. Пластины с пазами не должны находиться
в тесном контакте с экранами, так чтобы можно
1 ; бЫЛО ПОЛУЧИТЬ НеСКОЛЬКО
Рис.-II Рис. 12.
условий передачи с одним набором экранов. Все ваши данные должны удовлетворять уравнению (31). Чтобы проверить это, постройте график, форма которого дана на рис. 12, где 1/(2а) и 1А — координаты каждой точки. Точки должны лежать на окружности с радиусом Ш0.
Мы видим, что по мере уменьшения ширины канала а длина волны в канале увеличивается, пока ширина а не станет равной 7а^ъ Для этой ширины "к становится бесконечной. Для значений а, меньших 1/аЯ0, уравнение (31) приводит к мнимым значениям Я. Ситуация аналогична той, с которой мы встречались в случае сосредоточенной линии в Р.2.7, где мы обнаружили, что существует максимальная частота «кр для распространения волны по линии. При более высоких частотах напряжение падало экспоненциально.
В нашем случае существует максимальная длина волны Якр=2а для колебаний, распространяющихся по каналу. Для больших длин волн можно по аналогии ожидать экспоненциального затухания поля в соответствии с выражением
Е =* Е0 cos ~ cos cat е~~kz. (36)
Подстановкой в уравнение (32) получаем
ФЧ±)Ч?)'- <37>
Это выражение заменяет уравнение (31) за границей пропускания.
171
Будем пропускать через пару экранов волны с электрическим полем, нормальным по отношению к плоскости листа (рис. 13). Постепенно сокращайте расстояние между пластинами, следя за
тем, чтобы пластины оставались параллельными. Повторите это измерение с экранами разной длины Ь. Заметьте, что у более длинных экранов граница пропускания гораздо резче, что подтверждает экспоненциальный характер решения (36). Измерение границы пропускания дает дополнительный способ определения длины волны в свободном пространстве "к0. Наконец, интересно рассмотреть вопрос о фазовой и групповой скорости распространения микроволн в канале. Из уравнения (29) следует, что длина волны в канале равна
%= -Ц=--^- (38)
По мере приближения %0 к 2а угол стремится к л/2, а длина волны— к бесконечности. Скорость волны можно вычислить, умножая длину
волны на частоту V. Таким обра-у , зом, бесконечная длина волны пред-
Рис. 13.
2 3 2а/Х
Рис. 14. Рис- 15-
полагает бесконечную скорость. Но эта вычисленная скорость является только фазовой скоростью
с
Ф V 1-(*о/2а)я
(39)
которая представляет собой чисто геометрическую величину. Тот факт, что она стремится к бесконечности, конечно, не означает, что мы можем подавать сигналы с бесконечно большой скоростью.
Как мы уже видели в П.2.7, скорость, которая связана с передачей сигнала, является скоростью потока энергии. Эта скорость
172
называется групповой скоростью. Из рис. 7 и 8 ясно, что скорость потока энергии равна скорости света, умноженной на cos Ф:
vr = с cos Ь = cV\—(XJ2a)2. (40)
На рис. 14 представлен график зависимости частоты от 1Д. Фазовая скорость дается наклоном хорды, а групповая скорость — наклоном касательной к кривой. Сопоставьте этот рисунок с рис. 10 в П.2.7, где границей распространения была максимальная частота. В данном случае частоты распространения имеют нижнюю границу.
Соответствующую демонстрацию экспоненциального затухания можно осуществить с двумя 45° парафиновыми призмами в условиях полного внутреннего отражения, как показано на рис. 15 *). При приближении второй призмы к первой можно наблюдать значительное усиление передаваемого сигнала. Объяснение этого явления предоставляется студентам.
Приложение 2.10. Распространение звука
Пользуясь парой акустических дисковых преобразователей, описанных в П.2.9, можно изучать распространение ультразвуковых волн. Все преобразователи настраиваются, с точностью в несколько сотен герц, на 40 кгц. Одкн преобразователь можно возбуждать непосредственно сигнал-генератором и использовать как передатчик. Второй преобразователь используется в качестве приемника. На расстояниях порядка метра принимаемый сигнал достаточно велик и его можно непосредственно подать на осциллограф. Такое УСТРОЙСТВО Рис. 16.
