Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Нейман и другие известные иностранные математики называют его
гамильтоновым, так как оно прямо вытекает из гамильтонова выражения
варьяции главной функции S = J(T + U)dt. (Philosophical Transactions of
the Royal So iety of London, 1835, ч. I, Second Essay on a General Method
in Dynamics.) Гамильтоново же начало варьяции главной функции имеет
основанием уравнение, данное Лагранжем в мемуаре : Sur la theorie
gen6rale des variations des constantes arbitaires dans tous les probKmes
de la mecanique; Memoires de l'lnstitut national, 1808, а именно:
*) "Утверждение, что это уравнение имеет место для всех возможных
варьяций, ие является совершенно точным, так как уравнения связей должны
быть всегда удовлетворены. Выполнение интегрирования по времени, как
кажется, должно быть оправдано другим способом, заметив, например, что
значения t, между которыми берется интеграл, являются произвольными".
ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАЧАЛУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
403
гдеZ есть Т -f U; г, s,... -• главные переменные и г', s',... - их
производные по времени. Вэяв интеграл, получим прямо гамильтоново
выражение главной функции
/>S=S$Zdt = (lr^r+ ...\-(lr?r+
где знаки 1 и 2 показывают, что выражение в скобках относится к пределам
интеграла. Уравнение (Ь) служит основанием тому воззрению на уравнение
динамики, которое Остроградский высказывает в конце своего письма к
Брашману, что эти уравнения суть условия интегрируемости варьяции 8Z = dT
+ 8U.
С.-Петербург 25 января 1871 г.
СОФУС ли
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [147]
В теории возмущений идет речь о решении следующей задачи :
Задача {.Определить наиболее общее преобразование
%к = Xк (X! ,. . ., Хп , Pi" ..." Рп)>
Рк = Рк (*1 >•••> Хпг Pit ¦ ¦ •" Рп) = 1" • • •"
Я)>
которое одновременно переводит все совместные системы вида
dXk=zl^dt' dPk=~l^dt (k=l,...,n)
в системы того же вида между новыми переменными [т].
Якоби и Бур, как известно, нашли, что самое общее преобразование
требуемого типа определяется уравнениями
(Хк X,) = (X, Р) = (Рк Р,) = 0, (Рк Хк) = 1. (0)
С другой стороны, для касательных преобразований, как мною установлено,
основной задачей является следующая :
Задача II. Определить наиболее общим образом 2п величин Xv...
..., Хп, Ръ..., Рп как функций от хь..., хп, ри..рп так, чтобы имело
место соотношение вида
Pi dXk + ...-(- Рп dXn = Pi dxi -j-... + рп dxn + d V
в предположении, что V рассматривается как неопределенная функция от
Xi,..., хп, Pi,..., рп.
Как я показал, самое общее решение этой задачи получается, если взять
любую систему величин Хк, Рк, удовлетворяющую соотношениям (0)*).
Таким путем была открыта точная связь между двумя кажущимися различными
задачами. Эта связь при моей синтетической концепции была a priori так
ясна, что я в ранее представившемся случае**) назвал задачу II лишь
другой формой задачи I. Но теперь я убедился, что даже выдающиеся
математики не поняли ясно внутреннего основания этой связи. Поэтому я
считаю целесообразным доходчиво доказать путем аналитических рассуждений,
что названные задачи действительно могут быть взаимно сведены одна к
другой. Одновременно я показываю, что в моих более ранних иссле-
•
*) Якоби рассматривает задачу II, добавляя дальнейшее требование, чтобы
уравнения Хг = а1(..., Хп => ап были разрешимы относительно pv..., Рп. Он
признает необходимость соотношений (0) при его постановке вопроса, но
выполнения этого условия недостаточно.
**) S о р h u s Lie, Ueber partielle Differentialgleichungen erster
Ordnung, Gesammelte Abhandlungen, Leipzig-Oslo, 1922, т. 3, стр. 49.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
405
дованиях по касательным преобразованиям решаются две общие задачи,
которые следует рассматривать как обобщения задачи I.
В связи с только что указанным я доказываю путем новых рассуждений, что
дифференциальные уравнения механики, так же как и дифференциальные
уравнения вариационного исчисления, могут быть приведены к канонической
форме. Знаменитая теория Гамильтона-Якоби приобретает, быть может, таким
путем большую простоту, чем прежде.
В последнем параграфе я решаю следующую задачу :
Задача III. Определить наиболее общее преобразование, которое заданную
систему вида
"<А = --к<# (*=1, и)
переводит в подобную же систему.
Соответствующие преобразования, которые теперь уже не будут независимыми
от вида функции F, в общем случае не являются касательными
преобразованиями.
Наконец, я указываю, но без доказательства, общий случай, в котором
интегрирование заданной совместной системы допускает соответствующие
упрощения, подобные тем, которые имеют место в случае канонической
системы.
§ 1. Общие канонические системы
1. 2п уравнений вида
X; X,- - дх, = (X], . . ., Хп , Pi, . . ., Рп) dt,
Pi-Pi=**Pi = Qt(xхп, Pl, ..., рп) dt,
в которых dt обозначает любую (г = 1,..., п) бесконечно малую величину"
определяют бесконечно малое преобразование между величинами х1}..., хп,
Pl, • ¦ •, Рп •
