Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Я требую теперь, сверх того, чтобы это преобразование было бесконечно
малым касательным преобразованием в аналитической форме, т. е. чтобы
разность
p'idx[+ ... + р'п dx'n - (Pidxi+... + рп dxn) была полным дифференциалом
dQ. Это дает уравнение
2 Pi dxi = dQ, или, если выполнить соответствующие операции,
2{^pdxi + pi^{dxi))=dQ, откуда после перестановки символов д и d
получается
2{^-dxi + pid^f] = dQ.
Подставляя сюда выражения (1) для бх,- и мы находим уравнение 21 (Qi dXt
+ Pi dYi) = dQ,
i
которое эквивалентно следующим 2n уравнениям :
до л ^ . 0К< 80 ^ dYi
406
СОФУС ли
Это дает
a{Q, + 2pl-^)-^{Q, + 2p,^},
Ъхе
9 (г\ I V" 9Yj\ 3 v - 9^
{Q, + ZP,^) = ir2pl
9Pe 1 / p' 3xr ) dxr dpg >
3 -v* ЭУ; _ 3 у 3Yi
дрв -T Pi dpr bpr i Pi 3Pe '
откуда после отбрасывания взаимно уничтожающихся членов находим
3Qr = 3Qe dQr ^ ЗУ, 3 Ye = 3 Yr .
ЗХр Зхг ' дре ~ дхг ' дрг ~ дре '
откуда следует, что Yr и Qe равны соответственно частным производным по
рг и -от некоторой функции переменных хъ..., хп, plt..., рп :
у л _ 9/7
" Яп > Ye -
Э/v ' че Зхе 1
Отсюда получается следующая лемма :
Лемма 1. Каждое бесконечно малое касательное преобразование между х, р
имеет вид
8x' = l^8t' 8pt = -^8t (i = U...,n),
где F обозначает любую функцию переменных хъ..., хп, ръ..рп*).
2. Я теперь ищу, наоборот, наиболее общее выражение
W = jgXk(x1, pn)dxk+ ^Pk(xlt рп)dpk,
k=1 k=\
которое обладает тем свойством, что выражение
^ ( Э1У 3F _ Э1У _аF \
¦у1 I Ьхк дрк 3рк дхк) '
какова бы ни была функция F, всегда является полным дифференциалом.
Уравнение, выражающее это условие,
dW АП., \
-5f= dQ{xlt , хп, р1} ..., рп)
после выполнения соответствующих операций принимает вид
dQ = 2 хк d ¦- + 2 (F, хк) dxk - 2 Рк d ^ + 2 (F, Рк) dpk,
6W
dt
откуда
*? = у х 82/7 - УР 92/7 (F X \
дхи к дРкЪхл дхкдхи -г\г'Ли)'
д° = у хк_______- УРк______________________-___________b (F Р ) Г1491
9P. к dpkdpv к дхк др" J.
*) С помощью этой теоремы задача I принимает форму: "Определить наиболее
общее аналитическое преобразование, при котором все бесконечно малые
касательные преобразования остаются таковыми". Само собой понятно, что
каждое касательное преобразование является именно таким преобразованием.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
407
Теперь мы образуем тождество
9 ЭЯ 9 ЭЯ
9 р" 9 Хи дхц Э р"
и приходим таким путем, опуская взаимно уничтожающиеся члены, к
следующему :
¦у ЭХ* 9*F у 9Рк Э2F f 9F x),fF ЭХИ
9р" 3рк Эх" Эр" Эх* дхи I Эр" ' "j ( ' Эр" J
_ у ЭХ* дЧ' ^ J)P*^ d2F______7 ЭР р 7 _ ЭР" 7 0
Эх* Эр* Эр" Эх.7 Эх" Эр" * 3Хц , г/ V , Эхи J
Это соотношение должно иметь место, какова бы ни была функция F. Поэтому,
если объединить все члены, содержащие одну и ту же производную от F, то
коэффициенты при каждой такой производной должны равняться нулю. Это дает
следующие уравнения :
О для k=j=v, (2)
3 Хц ЭРи
Эх*
эх* ЭР"
Эр" Эх*
эх" ЭР"
Эр" 1 CD
3 Хи эх*
Эх* Эхи
ЭРа ЭР*
Эр* дхц
эх" 3 1
Эр" Эхя J
3 Ра 3 Хи '
О, (4)
О, (5)
О 9 - (дХ" - = о (6)
а п" а п., ах" • vu/
Оба последних уравнения показывают, что величина по-
opv C"Xt>
стоянна и одновременно, на основании уравнения (3), не зависит от v.
Поэтому, обозначая через А абсолютную постоянную, мы можем положить
dXv 3Pv а
3 pv Зх^ ,
откуда
'>(%АМ = -Ш=° <*'=1..........">• <7>
С другой стороны, ясно, что уравнения (2) и (4) могут быть записаны так :
9 (X* - Арк) _ ЭР" , ,
Эр" -"Э5ЙГ' K=f=v'
Э (X* - Арк) Э (X" - Ару)
Эх" Эх*
Эти уравнения вместе с уравнениями (5) и (7) показывают, что величины Хк
- Арк и Р, являются частными производными соответственно по хк и р,
некоторой функции переменных хг,..., хп, ръ..., рп:
p' = ~ik <* = '...............">•
Отсюда следует, что искомое выражение для W имеет вид Щ (АРк + -0^-) dxk
+ J* ~d^dPk '
408
СОФУС ли
или, что сводится к тому же, вид
A2iPkdxk + dU.
к
Легко подтвердить также, что и наоборот, это выражение всегда обладает
требуемым свойством, каковы бы ни были постоянная А и функция U. В самом
деле,
откуда
с другой стороны,
6 АЛ A6U
8t dU -d st .
Таким образом, мы можем высказать следующую лемму:
Лемма 2. Если данное выражение
W = 2xkdxk + 2PkdPk
к к
обладает тем свойством, что (F, W) есть всегда полный дифференциал в
переменных хъ..., хп, р1г..., рп, какова бы ни была функция F, то W имеет
вид
Aj?pkdxk + dU.
к
. 3. После того как это установлено, я предполагаю, что в совместную
систему
dxk = ^-6t, dpk=-^dt (Zc = 1, п) (8)
и в выражение
Pi dxi 4- ... + рп dxn
вместо xv хп, pv ..., рп введены новые переменные, например yv ... • • •"
Уп, Чх>- • Цп- При этом сначала на ук и qk не налагается никаких других
ограничений, кроме того, само собою разумеющегося, что они
являются
независимыми функциями переменных хп, р1г..., рп. Пусть
tyk = Vktol dqk = xkti есть новая форма совместной системы (8) и пусть
2iPkdxk = 2iYkdyk + 2iQkdqk = W,
к
где Yk и Qk суть некоторые функции переменных yv..., уп, qv..., qn.
В силу изложенного
