Квантовая электроника - Пирс Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Характер изменения электрического и магнитного полей от точки к точке в замкнутой полости определяется суммой соответствующих полей всех видов колебаний или конфигураций. Поле каждого вида или конфигурации чрезвычайно быстро осциллирует во времени с резонансной частотой данного вида колебаний; кроме того, амплитуда каждого вида также изменяется со временем, правда несколько медленнее. Результирующее поле, то есть сумма полей всех сложных конфигураций у всех видов колебаний, изменяется во времени очень сложным образом.
Однако средняя энергия каждого отдельного вида колебаний зависит только от температуры. Вполне возмож-
32 но подсчитать число различных видов колебаний, частоты которых лежат в некотором выбранном интервале. Значит, если нам удастся вычислить среднюю электромагнитную энергию при данной температуре для каждого вида колебаний, мы сможем затем подсчитать энергию и для целого интервала частот, а отсюда — и полную электромагнитную энергию в замкнутой полости.
В 1900 году лорд Рэлей и Джеймс Джине сделали первую попытку и выполнили такие вычисления. Расчетные величины хорошо согласовывались со значениями, наблюдаемыми на опыте при достаточно низких частотах излучения, но не совпадали с экспериментальными результатами в области высоких световых частот (фиолетовые и ультрафиолетовые лучи). Более того, из расчетов Рэлея — Джинса следовало, что полная энергия по всем частотам в замкнутой полости должна быть бесконечной!
Постоянная Планка
Очень важно знать зависимость, позволяющую определить промежуток времени, в течение которого энергия какого-либо одного из видов колебаний в замкнутой полости будет иметь величину, не выходящую за границы определенного очень узкого диапазона значений. Рэлей
Фиг. 4.
и Джине имелд все основания полагать, что эта зависимость должа изображаться кривой больцмановского распределения, которую Людвиг Больцман вывел в конце прошлого века, для того чтобы описать распределение кинетической энергии между молекулами газа. Больцма-новская кривая изображена на фиг. 4: по горизонтали
2 Дж. Пирс
33 мы отложили значения энергии данного вида колебаний Ej поделенные на величину k\ здесь T — температура в градусах Кельвина (0K), a k называется постоянной Больцмана и равна
k= 1,380- IO"23 дж/°К.
Высота кривой при данном значении E указывает часть времени, в течение которой энергия данного вида колебаний останется в пределах малой области є, середина которой как раз совпадает с точкой Е. Энергия каждого вида колебаний непрерывно изменяется во времени. Больцмановское распределение и отражает тот факт, что у данного вида колебаний большие энергии бывают гораздо реже, чем малые, и чем больше энергия, тем реже она встречается на протяжении того времени, пока мы следим за ее изменениями. Если в вычислении средней энергии одного вида колебаний использовать больцмановское распределение, то в результате получится, что эта энергия всегда равна kT дж и не зависит от частоты колебаний. Это равномерное распределение энергии по всем видам колебаний получило название равнораспределения энергии; именно на него опирались Рэлей и Джине в своих расчетах. А так как в полости возможно бесконечное число видов колебаний все более и более высоких частот, то и оказывалось, что полная энергия будет бесконечно велика, если все виды получат одинаковые средние энергии kT.
Что же предпринял Планк, чтобы найти правильный ответ? А вот что: он предположил, что хотя больцма-новская кривая и совершенно правильна, но каждый отдельный вид колебаний не может иметь любое значение энергии — возможны лишь конкретные, строго определенные значения ее. Так, если частота данного вида колебаний равна v, то его энергия может быть равной 0 дж (ни одного фотона в этом виде колебаний), hv дж (один фотон), 2hv дж (два фотона в этом виде колебаний) и так далее. Здесь h — постоянная Планка:
h = 6,62-IO-34 дж/сек.
На фиг. 5 нанесены вертикальные линии, проходящие через значения энергии 0, 2Av, 3Av...джоулей. Эти линии заканчиваются на больцмановской кривой, которая здесь
34 проведена пунктиром. Понятно, что высота, скажем, линии 2Av пропорциональна вероятности того, что колебание с частотой V будет иметь энергию 2Zzv и т. д.
I Шигпх
о
О —H V*-hf/ЯТ Энергия/HT
Ф и г. 5.
Среднюю энергию какого-либо вида колебаний мы получим таким путем: сначала перемножим значения энергии для каждой вертикальной линии на высоту этой линии и сложим получившиеся числа. Затем отдельно сложим высоты всех вертикальных линий и поделим на полученное число первую сумму (сумму произведений энергий на высоты). Результат и есть средняя энергия.
Пока частоты довольно малы,— так что величина hvjkT гораздо меньше единицы — вертикальные линии расположены очень густо, как на фиг. 5. Среднее значение энергии в этой области будет очень близко совпадать с величиной, которую получили Рэлей и Джине, прямо исходя из больцмановской кривой. Но, когда отношение
о
hf/кТ Zfif/MT
3 hf/кТ
35 hvjkT становится равным единице или больше, линии идут реже, как видно на фиг. 6. К тому же все они, кроме той, для которой энергия равна нулю (ни одного фотона с этой частотой), лежат далеко справа, где больцма-новская кривая спадает к совсем низким значениям. Следовательно, подавляющую часть времени энергия этого вида колебаний будет близка к нулю, так что средняя энергия окажется гораздо меньше величины kT, которую получили Рэлей и Джине, усредняя по больцма-новскому распределению.
