Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы увидим далее, сферическая черная дыра возникает, когда невра-щающееся сферическое тело сжимается до размеров меньше гравитационного радиуса. Ho прежде чем рассмотреть этот процесс возникновения черной дыры, необходимо познакомиться с законами радиального движения пробных частиц в поле Шварцшильда.
*) В § 4.2 мы подробно рассмотрим эти вопросы.
**) Напомним, что в общем случае несферических полей тяготения, меняющихся во времени, никакого неизменного 3-мерного пространства ввести нельзя, что затрудняет и наглядные представления, и вычисления.
***) Исключение^ являются нейтронные звезды и черные дыры ,
12
§ 2.3. Радиальное движение пробных частиц в поле Шварцшильда
Рассмотрим прежде всего движение вдоль радиуса фотона, всегда летящего с фундаментальной скоростью с. Практически по тому же закону будет двигаться любая ультрарелятивистская частица. Для такой частицы ds = 0. Для радиального движения dd =d?=0. Подставляя в (2.2.1) ds = = d6 = dy = 0, находим закон движения
?-4--H
Напомним, что drIdt — это скорость изменения координаты г с течением времени t далекого наблюдателя (а не физического времени т в данной точке), т.е. это координатная, а не физическая скорость. Физическая скорость есть изменение физического расстояния dx [см. (2.2.2)] с физичес-
dx \fg7\dr
ким временем т [см. (2.2.5)]: ---=± — ¦ —= ±с. Разумеется, физи-
dT \/-Xwdt
ческая скорость фотона (в любой системе отсчета) всегда равна с.
С точки зрения далекого наблюдателя (по его часам) изменение физического радиального расстояния dxc течением t есть dx / гг\ 1/2
-¦-**(¦-?-) ¦ сад
Таким образом, для далекого наблюдателя луч вблизи rg движется медленнее, при г ~+rg имеем dx/dt -‘¦О. Разумеется, это отражает замедление течения времени вблизи rg — см. (2.2.5).
Сколько времени по часам далекого наблюдателя понадобится фотону, чтобы, двигаясь по радиусу от г = T1, достигнуть rg1 Проинтегрируем для этого уравнение (2.3.1):
*=—------- +-S-Inf-——)+t0. (2.3.3)
С С \ Г -Tg /
Здесь г, — положение фотона в момент ?0- Выражение (2.3.3) показывает, что при г Tg t -*-°°. С какого бы гх ни начинал свое падение фотон, по часам далекого наблюдателя время t достижения фотоном rg бесконечно.
Как изменяется энергия фотона при движении по радиусу? Энергия пропорциональна частоте. Рассмотрим изменение частоты. Пусть в некоторой точке с г = T1 происходят вспышки с интервалом Д?. Так как поле статично, то эти вспышки придут к наблюдателю с г = г2 с тем же интервалом At. Интервалы собственного времени в этих двух точках относятся
Ar, V-SooO-I)
как ------= —- — --- , а частоты to, следовательно, относятся как
Лт2 V-JfooОг) At
(2.з.4)
GJ2 Дт, JfooO-I) l~rglrl
Частота кванта уменьшается при выходе из поля тяготения и увеличивается
13
при движении к центру. Это явление называют соответственно красным и фиолетовым гравитационным смещением.
Рассмотрим радиальное движение нерелятивистских частиц в вакууме. Исследуем сначала свободное движение, когда на частицу не действуют никакие негравитационные силы (свободное падение, движение по геодезической линии). Интегрирование уравнения для геодезических в случае d6 =d<p=0 [см. Богородский (1962*)] приводит к выражению
dr (I - г Jr) [(Е/тс2)2 - I + rg/r] 1I2
— = ± --------------Tj----------—-------с. (2.3.5)
dt Е/тс
Здесь E — константа движения, описывающая полную энергию частицы, включая ее массу покоя т. Если частица покоится вне поля тяготения на бесконечности, то E = тс2. В общем случае величина EImc2 может быть и больше и меньше единицы, но E для частицы вне сферы радиуса rg всегда
положительна. „ 2
E -тс
тс2
На больших расстояниях г > rg для нерелятивистских частиц < 1 и выражение (2.3.5) переписывается в виде
m(dr/dt)2 ‘ , GmM
---------— = (Е-тс2) +-----------. (2.3.6)
2 г
Величина IL=E- тс2 является энергией частицы в ньютоновской теории (где в энергию не включается масса покоя), и все выражение (2.3.6) приобретает вид закона сохранения энергии в ньютоновской теории.
Напомним снова, что в выражении (2.3.5) dr/dt — это координатная (не физическая) скорость. Физическая скорость, измеряемая неподвижным в системе Шварцшильда наблюдателем, находящимся рядом со свободно движущимся телом, есть
dx _ y~7n~ dr _ ^ [(Е/тс2)2 - I +rg/r] 1/2 ^ (137)
dr Itfool dt Е/тс2
Если падающее тело приближается к rg, то физическая скорость все время
нарастает, и при г -+rg имеем dx/d т -*с. Скорость dxjdt по часам далекого
наблюдателя стремится к нулю при г -+rg, как и в случае движения фотона. Этот факт отражает замедление течения времени при г -*¦rg.
Сколько времени длится падение тела от некоторой точки Cr = T1 до гравитационного радиуса rg по часам далекого наблюдателя?
Время движения от Гу до rg определяется интегрированием выражения
(2.3.5). Интеграл расходится при r-*rg. Результат этот неудивителен, так как даже для света At -»•«> при г ~*rg, а быстрее света ничто двигаться не может. Более того, характер расходимости At для падающего тела такой же, как для фотона, ибо при г -*rg скорость тела v всегда стремится к с. Очевидно, что, какие бы силы не действовали на частицу, время At достижения' rg всегда будет бесконечным, ибо и в этом случае всегда v < с. Таким образом, и свободное падение, и движение к rg с любым ускорением всегда длятся бесконечное время по часам далекого наблюдателя.
