Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся к свободно летящей частице. Каково время AT достижения г„ по часам на самой падающей частице? Оно находится по формуле AT =
I ri
= —/ |</s|, где ds берется вдоль мировой линии частицы. Подставим
14
С
выражение*^ из (2.2.1) сdd =dip = О и получим
(2.3.8)
Для вычисления AT подставляем в (2.3.8) dr/dt из (2.3.5). Легко показать, что интеграл сходится, интервал AT конечен. Для частного случая E = тс2, когда частица падает с параболической (второй космической) скоростью (т.е. dr/dt = 0 при г-+°°), получаем для времени падения от г і до г :
Мы видели, что для далекого наблюдателя время падения частицы At бесконечно, по часам же на самой частице AT конечно. С физической точки зрения этот неожиданный на первый взгляд результат можно интерпретировать следующим образом. Часы на падающей к rg частице замедляют свой ход по отношению к часам на бесконечности: во-первых, из-за замедления хода времени в гравитационном поле (2.2.5), а во-вторых, из-за лорен-цева сокращения времени, когда их скорость и-*с при r-*rg. Поэтому бесконечный по t интервал становится конечным по Т.
§ 2.4. Пространство-время внутри сферы Шварцшильда
Тот факт, что собственное время падения частиц до сферы Шварцшильда конечно, подсказывает способ построения системы отсчета, которую можно продолжить при r< rg. Надо связать систему отсчета со свободно падающими частицами. При этом на гравитационном радиусе в такой системе заведомо не возникнут бесконечные ускорения F и соответствующие бесконечные силы, так как частицы системы свободно падают, находятся в невесомости и F тождественно везде равно нулю. Наиболее простая система отсчета такого рода состоит из свободно падающих частиц, имеющих на пространственной бесконечности нулевую скорость [система отсчета Леметра (1933); см. также Рылов (1961*)]. Движение этих частиц описывается уравнением (2.3.9).
Чтобы перейти к зтой системе отсчета, выберем в качестве координаты времени время Т, отсчитываемое часами на падающих частицах. В некоторый момент T = const, который мы примем за T = 0, совокупность свободно падающих частиц находится на разных rx. В качестве радиальной координаты в их системе отсчета можно выбрать эти значения г і, маркирующие частицы и неизменные в дальнейшем для каждой из них.
Тогда квадрат интервала в системе свободно падающих частиц запишется в виде
(2.3.9)
ds2 = —с2 dT2 +
+
(2.4.1)
15
Рис. I. Пространство-время Шварцшильда в координатах Леметра. Пунктир - линий г = const; ABC -мировая линия фотона, падающего в черную дыру. В точках А. В. С показаны отрезки мировых линий фотонов, движущихся в противоположную сторону
Il
В качестве радиальной координаты в рассматриваемой системе удобно использовать не гх, а
Система отсчета с интервалом (2.4.3) — система Леметра — действительно не имеет никаких особенностей на сфере Шварцшильда. Чтобы убедиться в этом, запишем в явном виде связь между координатами Шварцшильда и Леметра:
Приравнивая в (2.4.4) r = rg, находим уравнение для положения сферы Шварцшильда в системе Леметра:
Выражения для всех gap в (2.4,3) на сфере Шварцшильда вполне регулярны, не имеют никаких особенностей. Вычисление всех отличных от нуля инвариантов кривизны 4-мерного пространства-времени также показывает отсутствие на сфере Шварцшильда каких-либо особенностей. Система Леметра продолжается при r< rg. Пространство-время в координатах R, T Леметра изображено на рис. 1 (угловые координаты в, у не важны в силу симметрии). Система продолжима вплоть до г = 0, т.е. [см. (2.4.4) ] R =
16
(2.4.2)
Квадрат интервала (2.4.1) теперь перепишется в виде
(2.4.3)
3
rg = j(R-cT).
(2.4.6)
= с Т. Здесь имеется истинная особенность пространства-времени — бесконечная кривизна. Это видно, например, из того факта, что инвариант кривизны Ra0yS-Ral3yS при R—cT-*0. Бесконечность указанного инварианта означает бесконечность приливных гравитационных сил.
Как видно из рисунка, каждая свободно падающая частица с R= const в системе Леметра движется с течением T к меньшим г. За конечное время T частица достигает rg, падает дальше и достигает истинной особенности г= 0*). Продолжить пространств о-в р ем я за сингулярность нельзя; здесь бесконечны приливные гравитационные силы, разрушающие любые частицы. Вблизи г = Q существенны квантовые эффекты гравитационного поля,
о чем мы будем говорить в гл. 12.
На рис. 1 нанесены также мировые линии радиальных световых лучей. Они определяются из (2.4.3) условием ds = Q,dQ = dip = 0:
1/3
(2.4.7)
dT
dR
f(K-cr,
Положение световых конусов на рис. 1 сразу показывает, почему сфера Шварцшильда играет особую роль в системе отсчета Шварцшильда и вообще в сферическом поле тяготения. Дело в том, что при r>rg мировые линии г =const (здесь и далее мы считаем 9 = const, у = const) лежат внутри светового конуса, т.е. они времениподобны; линия r = rg совпадает с мировой линией фотона, т.е. светоподобна; наконец, при r< rg мировые линии г = const пространственноподобны.