Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вот почему система Шварцшильда, образованная частицами с г = const, не может быть продолжена при r< rg.
Рассматриваемая ситуация оказывается характерной для общей теории относительности и отличает ее от обычной теории поля в плоском пространстве. Для решения уравнений Эйнштейна необходимо выбрать определенные координаты. С этой целью обычно вводятся дополнительные условия, фиксирующие вид метрики. При этом из-за возможной сложной глобальной структуры пространства-времени в общей теории относительности (например, нетривиальной его топологии) нельзя, вообще говоря, гарантировать, что выбранные координаты покрывают все пространство-время. Именно с этой ситуацией мы столкнулись выше, при попытке описать полное сфери-чески-симметричное пространство-время в координатах кривизны (2.1.2). Общий прием, позволяющий установить, действительно ли полученное решение описывает все пространство-время или только часть его, состоит в изучении поведения пробных частиц и лучей света. Если за конечное собственное время (или при конечном значении аффинного параметра для фотонов) некоторые из частиц достигают ’’границы” выбранной координатной системы, а физические особенности в этих ’’конечных” точках траекторий частиц отсутствуют, то эта координатная система неполна. Изменив координатные условия и перейдя к метрике (2.4.1), нам удалось покрыть
*) Тот факт, что линии г = const в координатах R, Tизображаются прямыми, связан со специальным выбором R [см. (2.4.2) ]. Этим, в частности, объясняется выбор координаты Л вместо T1.
2 И. Д. Новиков
17
большую область пространства-времени и, в частности, описать возможные события, происходящие под гравитационным радиусом. Обсуждение вопроса о том, является ли координатная система Леметра действительно полной и описывает ли метрика (2.4.1) все пространство-время, мы отложим до § 2.7, а пока вернемся к обсуждению свойств сферы Шварцшильда и области пространства-времени, лежащей внутри нее. [Общее обсуждение затронутых вопросов см. Хокинг, Эллис (1973).]
Самая примечательная особенность сферы Шварцшильда заключается в следующем. Из точек с r>rg луч света, идущий наружу (направо на рис. 1), движется к все большим г и уходит на пространственную бесконечность. Для точек с г < rg оба луча (и идущий налево, и идущий направо) движутся к все меньшим г, не уходят на пространственную бесконечность, а ”упи-раются” в сингулярность г - 0. Мировая линия любой частицы обязана лежать внутри светового конуса. Поэтому при r<rg все частицы обязаны двигаться к г = 0 — это есть направление в будущее. Движение к большим г в области r<rg невозможно [см. Финкельштейн (1958)]. Подчеркнем, что сказанное относится не только к свободно падающим частицам (т.е. движущимся по геодезическим) , но и к частицам, имеющим любое ускорение. Никакое излучение, никакие частицы не выходят к далекому внешнему наблюдателю из-под сферы Шварцшильда.
Мы определили в (2.2.1) г так, чтобы ^22 = г2, т.е. как радиальную координату в системе координат кривизны [см. (2.1.1)]. Так же формально определяется г и внутри сферы Шварцшильда, хотя здесь линия г = const пространственноподобна и не может служить радиальной пространственной координатой. При r< rg величина g22 всегда зависит от времени, притом монотонно в любой системе, определяемой соотношениями (2.1.3) —
(2.1.5). Все системы отсчета при r< rg нестатичны, оба радиальных луча света идут только к меньшим г (а значит, к меньшим ?22). Области прост-ранства-времени с таким свойством называют Т-областями [Новиков (1962*а, 1964*а) ]. Область пространства-времени вне сферы Шварцшильда называют R-областью.
Дадим более точное определение R-и Г-областей. Рассмотрим пространство-время со сферической симметрией. При этом оно может содержать материю (Taiз Ф 0) или быть пустым. По определению сферически-симметрич-ного поля тяготения его метрика всегда может быть записана в виде (2.1.2). Если в окрестности рассматриваемой точки мировая линия х1 = const, в = const, у = const времениподобна, то эта точка принадлежитЛ-области. Если эта линия пространственно подобна, то рассматриваемая точка принадлежит Г-области.
Вернемся к случаю сферически-симметрично го поля тяготения в вакууме.
Помимо уже рассмотренной системы отсчета Леметра, для исследования областей как внутри, так и снаружи сферы Шварцшильда используются и другие системы отсчета. Здесь и в дальнейших параграфах мы приведем некоторые из них.
Прежде всего обратимся снова к системе координат (2.2.1). На сфере Шварцшильда эта система, как мы показали в § 2.2, сингулярна. Ho при г, строго меньшем rg, метрические коэффициенты ga0 опять регулярны. Имеет ли эта система какой-либо прямой физический смысл при r< rg? 18
Оказывается, имеет [Новиков (1961*)]. Координата г теперь (приг< rg) не может быть, как показано, выше, радиальной пространственной координатой. Однако она может играть роль временной координаты, что прямо следует из выражения (2.2.1), где коэффициент при dr2 меняет знак при переходе через сферу Шварцшильда и при r< rg отрицателен. С другой стороны, координата t теперь может служить пространственной радиальной координатой, коэффициент при dt2 положителен для r< rg. Таким образом, координаты г_и f при r< rg поменялись ролями. Поменяем обозначения г = -сТ, t = Rjc и перепишем (2.2.1) в виде 1-і
