Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подчеркнем, что внешнее пространство (вне сферы с r~rg) в обоих случаях тождественно одно и то же. Преобразованием координат метрика его сводится К (2.2.1), HO оно может быть продолжено внутрь сферы Шварцшильда двояким образом-, либо как сжимающаяся Г-область, либо как расширяющаяся Г-область (но никак не вместе!). Какой тип Г-области осуществляется конкретно, зависит от граничных или начальных условий. Мы подробно остановимся на этом в следующем параграфе. Сжимающуюся Г-область принято обозначатк Г_, расширяющуюся — T+.
21
§2.6. Гравитационный коллапс -
возникновение черной дыры. Белые дыры
В этом параграфе мы разберем процесс возникновения черной дыры в результате сжатия сферической массы до размеров меньше rg. Чтобы избавиться от эффектов, не имеющих непосредственного отношения к образованию черной дыры и только осложняющих решение, рассмотрим сжатие сферического облака вещества, лишенного давления, р- О (облако пыли). В этом случае не придется рассматривать гидродинамических явлений, связанных с градиентом давления. Все частицы (пылинки) движутся по радиальным геодезическим, подвергаясь действию только гравитационного поля. Решение уравнений Эйнштейна для этого случая было получено Тол-меном (1934). В приводимом решении система отсчета сопутствует веществу, т.е. пылинки имеют постоянные R, в, ip:
Здесь точка - дифференцирование по сТ, штрих - дифференцирование по R; /(R) и F(R) — две произвольные функции от R (должно выполняться I + f (R) > 0). Уравнение (2.6.2) определяет функцию г после задания f(R) и F (R) , р- плотность вещества.
Решение Толмена может описывать, например, сжатие пылевого шара конечных размеров. Для описания этого процесса выберем начальный момент T = const. Тогда (2.6.4) определит распределение плотности. Если координата определяет границу шара, то вне шара (при R > R1) р = 0 и F = const. Изменение г с течением T для частиц шара описывается уравнением (2.6.2) . Из уравнения видно, что каждая частица с фиксированным R, имеющая г < 0, за конечное T достигает г - 0, где имеется истинная сингулярность пространства-времени.
Вне шара метрика пространства-времени однозначно определяется массой шара, которая задается значением F на его границе R t. Эта метрика в пустоте является метрикой Шварцшильда (см. § 2.2).
Частицы на поверхности шара свободно падают в этой внешней метрике, поэтому их движение может быть представлено как движение по радиальным геодезическим в метрике Шварцшильда [см. (2.3.5) ]. В частности, можно рассмотреть сжатие шара, частицы на поверхности которого падают с параболической (второй космической) скоростью. Формулы движения таких частиц особенно просты [см. (2.3.9) ]. В системе Леметра уравнение мировой линии этих частиц будет = const. Уравнение этой же линии в системе Эддингтона — Финкельштейна дается в параметрическом виде выражениями (2.4.11) , (2.4.4), (2.4.5) , если в двух последних формулах положить R=Ri- const.
ds2 ~—c2dT2 + gu(T, R)dR2 + r2(T, R)(d62 + sin2Qdip2),
(2.6.1)
(2.6.2)
(2.6.3)
8tTGp F1 (R)
(2.6.4)
22
Рис. 6. Пространство-время сжимающегося шара с образованием черной дыры в координатах Леметра. Область внутри шара заштрихована
Рис. 7. Пространство-время сжимающегося шара с образованием черной дыры в координатах Эддингтона - Финкельштейна
Картина пространства-времени для сжимающегося шара изображена на рис. 6 и 7 в координатах Леметра и Эддингтона — Финкельштейна соответственно. Последний рисунок, где изображена и одна из вращательных степеней свободы, особенно нагляден. Поверхность сжимающегося шара за конечное собственное время достигает сферы Шварцшильда г = rg и затем стягивается в точку к г = 0. Этот процесс называют релятивистским гравитационным коллапсом. В результате коллапса внутри сферы Шварцшильда возникает пространственно-временная область, из которой никакие сигналы не уходят на пространственную бесконечность. Такая область и называется черной дырой. Итак, в результате релятивистского гравитационного коллапса сферического невращающегося тела возникает сферическая черная дыра.
Заметим теперь, что сделанное выше предположение об отсутствии давления ничего качественно не меняет в картине образования сферической черной дыры. В общем случае сжатия шара с давлением (р Ф 0) картина такая же. Когда поверхность сжимающегося шара приближается к сфере Шварцшильда, никакое давление не может предотвратить возникновение черной дыры [подробно эти вопросы см. Зельдович, Новиков (1971*)]. К нашей теме эти вопросы непосредственно не относятся, и мы здесь на них не останавливаемся.
В результате гравитационного коллапса внутри сферы Шварцшильда возникает сжимающаяся Г_-область. Это следует из требования непрерыв-
23
Рис. 8. Расширение шара из-под сферы Шварцшильда в расширяющихся координатах Леметра
Рис. 9. Расширение шара из-под сферы Шварцшил.ьда в координатах Эддингтона - Фин-кельштейна
ности коэффициента метрики g22 (коэффициента перед угловой пространственной частью) при переходе в фиксированный момент времени со сжимающейся поверхности шара в вакуум*). На поверхности сжимающегося шара этот коэффициент уменьшается с течением времени при г < rg . Значит, вследствие непрерывности он будет уменьшаться со временем и вне шара (при г < rg), т.е. внутри сферы г = rg расположена именно сжимающаяся T_ -область.
