Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
набором т-функций Хироты, состоящим для si (2, С) из триплета (т, -, р}.
Если уравнения движения переписаны с этими потенщ лами в качестве
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
201
зависимых переменных, то возникают билинейные уравнения Хироты. Как мы
уже упоминали в гл. 4, условия наличия много-солитонных решений
эквивалентны условиям, обеспечивающим свойство Пенлеве.
Второе: заметим, что уравнения Лакса можно решить формально путем
введения вспомогательной матрицы V, <2=КС?оК-1, где Q0 является
константой при всех временах. Матрица V удовлетворяет уравнениям =
являющимся последователь-
ностью вспомогательных уравнений, условия интегрируемости которых во всех
иерархиях связаны с si(2, С). Любое из этих уравнений может быть выбрано
в качестве "задачи на собственные значения" введением глобальных
ограничений на поведение зависимых переменных Q как функций одной
независимой переменной. Например, можно потребовать, чтобы матричные
элементы Q, не равные константе, стремились к нулю при стремлении
выделенной независимой переменной к ±оо. Поэтому все остальные
независимые переменные играют роли, подобные времени, и их можно
трактовать в рамках формализма начальной задачи. Например, в иерархии
AKHC t\ и является выделенной переменной; в иерархии НУШП, к которой
принадлежат нелинейное уравнение Шрёдингера с производной и массивная
модель Тирринга, выделенной переменной является t^. С ограничениями на
выделенную переменную связано определенное аналитическое поведение
подходящим образом нормированной матрицы V, рассматриваемой как функция
?, градуирующего параметра в алгебраической структуре Каца - Муди. В
частности, может быть введено понятие изоспектральных потоков. Эта идея
совместно с обсуждением изоримановой поверхности и изо-монодромных
потоков изложена в разд. 5f.
Связь между этим вторым направлением и функциями Хироты снова
устанавливается в разд. 5е, когда, как и в гл. 4 для уравнений КдФ, мы
изучаем формальное асимптотическое поведение матрицы V по ?. Оказывается,
что асимптотические ряды, которые вначале выражены в терминах элементов
Q, могут быть переписаны в терминах потенциалов и дают формальные
соотношения между V и {т, о, р} с помощью подходящим образом определенных
"вершинных" операторов.
В разд. 5g мы вводим преобразования Бэклунда. Наш подход является очень
общим. Мы просто задаем вопрос: какие преобразования V сохраняют
неизменной форму уравнения Лакса Qik = [Qw, Q]? Полученные калибровочные
преобразования
^нов.' ¦ ^^стар.^*
202 Глава 5
в которых основную роль играет R, индуцируют преобразование Бэклунда для
Q; действительно, соотношение между новой и старой Q имеет очень простую
форму. Она является алгебраической:
Qhob. ^?QcTap.^? •
Обсуждается несколько примеров и вводится два типа преобразований
Бэклунда. С первым читатель, возможно, знаком; это тот тип, который
добавляет солитоны. Подобно временным потокам, такие преобразования
Бэклунда являются непрерывными симметриями; а именно, новые солитоны
могут быть построены непрерывной деформацией старых. Второй тип,
называемый преобразованием Бэклунда - Шлезингера, представляет собой
нечто новое. Он сконструирован так, чтобы изменить монодромию
фундаментальной матрицы решения в точке ? = оо, и при последовательном
применении принимает вид разностного уравнения. Это преобразование
соответствует дискретной симметрии семейства уравнений и добавляет новую
целочисленную переменную п к списку независимых переменных. Мы увидим,
каким образом (как функции от п и ti) зависимые переменные иерархии АКНС
удовлетворяют дифференциально-разностному уравнению цепочки Тоды.
Кроме того, преобразования Бэклунда, которые добавляют солитоны, могут
быть переписаны в терминах "вершинных" операторов, действующих на т-
функции {т, а, р}. Оказывается, что вспомогательные т-функции р и а могут
быть получены применением преобразований Бэклунда - Шлезингера к основной
т-функции т. В действительности повторное применение преобразования
Бэклунда - Шлезингера дает последовательность т-функций т(п, t\, t2, t$,
...) для семейства цепочки Тоды; а именно, т(45, ^i) является
зависимостью от времени t\ для т-функции цепочки Тоды (по соседствующим
парам которой могут быть вычислены смещения) в 45-м узле цепочки.
В разд. 5h мы введем понятие градуировки. Основная идея состоит в том,
что существует несколько способов разложения заданной алгебры G на две
подалгебры К и N. Каждое из независимых разложений приводит к разным
наборам потоков. Различные разложения можно найти при помощи процедуры,
названной градуировкой, при помощи которой всем базисным векторам
ставятся в соответствие веса (согласованные со всеми коммутационными
соотношениями) и производится выбор градуирующего параметра. В случае
sT(2, С) базисными векторами являются Н, Е, F, определенные в (5.40) и
эквивалентные спиновым матрицам Паули, градуирующий параметр - это ?, об-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
