Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 78

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 113 >> Следующая

коммутаторов, общей для п = 2, 3; а именно, мы находим, что [Я, Я1] =
[Я, Я,] = 0 (условие, необходимое при п = 2,
но не для п = 3) и [Я, Я]] = 0 (наложенное при п = 3, но не
для п = 2). Поэтому таблицей п =2, 3 является si (2), за исключением
того, что [Я, Я/] при j ^ 2 неопределен. Далее, требуя, чтобы
коммутировали п - 2, 3, 4, находим, что [Я, Я2], [Я, Я2], неопределенные
таблицей п = 4, сейчас, так же как [Я, Я2], должны быть равны нулю. В
общем случае условие коммутируемости потоков имеет вид
Q(^-Q? + [Q(/), Q(ft>] = о. (5.34)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
215
Продолжая процесс, на п-м шаге мы находим, что включение n-го уравнения
иерархии АКНС в семейство коммутирующих потоков обращает в нуль
коммутатор [Я, Я"_2], оставшийся неопределенным таблицей, общей для г =
2, ..., п-1. Коммутаторы [Я, Я"_2], [Я, Я"_2], также оставшиеся
неопределенными при г = п, сейчас равны нулю в силу того, что они нулевые
для расширенных таблиц с г = 2, ..., n - 1. Сейчас ясно, что в пределе п
-оо элементы Я, Яр, Eq, Fr удовлетворяют соотношениям
[Яр, Eq] = 2Ep+q, [Яр, Fr] = -2Fp+n
[Eg, Fr] = Hq + r, [Hp, Hq] = [Ep, Eq] = [Fp, Fq] = 0. ( '
Коммутаторы элемента Я являются теми же, что и для Яь
(v) Выводы. Мы увидели, как два ведущих принципа (т. е. что солитонные
уравнения представляют условия интегрируемости системы линейных уравнений
и что каждое из них принадлежит бесконечному семейству коммутирующих
потоков) приводят нас к заключению, что естественным фазовым
пространством, в котором "живут" уравнения, является алгебра Каца - Муди.
Действительно, (5.34) представляет собой естественную конструкцию для
выражения уравнений. В следующем разделе мы увидим, каким образом эти
уравнения могут быть представлены в лаксовой форме
Qtk = [Q(ft), Q] (5.36)
посредством анализа эволюции Q=lim ?_/Q(,) (где ? - градуи-
/->оо
рующий параметр).
На данном этапе также должно стать ясно, что можно ослабить требование
линейности вспомогательных уравнений = = Q(/)K. Линейность является
просто следствием того факта, что мы всегда можем найти линейное
представление алгебры si (2). В данном случае оно имеет вид
Мы могли бы использовать иное представление, например ?p(y2(d/dy),
y(d/dy), d/dy), и найти вместо линейных систем (2X2) Vtj = QU)V
последовательность уравнений Риккати для
y^Vl/v2, где V = (";).
В заключение отметим, что, хотя целью этого раздела являлось понимание
структуры бесконечно расширенных алгебр, порождаемых иерархией АКНС, на
практике более удобно сконструировать искусственное замыкание. Однако
следует созна-
216 Глава 5
вать, что, сделав это, необходимо проводить различие между элементами ?(д
_°) и (о _i) в том смысле, что мы рассматриваем их как линейно
независимые. Только в том случае, когда фазовое пространство
рассматривается как бесконечная вереница таких элементов (формальный
степенной ряд Q -
оо
= X) ?~г {hrH + егЕ + /гО)> коммутатор [Q(A), Q] (5.36) имеет
г=0
естественную интерпретацию как гамильтоново векторное поле. Упражнение 5Ь
Испытаем метод на уравнении
'h + bqp4x + Я ххх = 0.
Положим Р - qXy + Х2 (покажите, что если Р = P(q), то Pqq = = 0) и решим
(5.2) относительно Q,
Q= - ЯххХу + qx [*" Х2] - qP^X, +
+ ?-[Хи X3] + q[X2, Х3] + Х.
(Подсказка: сначала решите для Q = - qxxXy -f R(q, qx) и продолжите R -
qx[Xu Х2] + 5(<7) и т. д.) Из (5.2) мы находим, приравнивая члены при
одинаковых степенях q, что Х3 - 0, если р ф 0, 1 или 2. В этом случае Хх
и Х2 пропорциональны, и запись уравнения как условия разрешимости (5.3),
(5.4) просто отражает тот факт, что оно имеет очевидный закон сохранения.
С другой стороны, если р = 1, 2, то возникает нетривиальная алгебра. В
том случае, когда р = 2, мы можем решить коммутационные соотношения,
выбирая
Х = -Щ3Н, Х{ = Е - F, Н2 - -
Каковы возможные решения при р= 1?
5с. Уравнения Лакса, связанные с sl(2, С). Материал этого раздела
воспроизводит текст статьи II в нашей серии статей, посвященных алгебрам
Каца - Муди и солитонным уравнениям. В предыдущих разделах мы видели,
каким образом естественное фазовое пространство системы АКНС связано с
бесконечномерной алгеброй Ли G = sT(2, С) формальных рядов м
X-YiX^fe1, М произвольно, но ограничено, (5.38)
- оо
где каждый элемент Хч принадлежит si(2, С).
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
217
Алгеброй Ли является векторное пространство, снабженное коммутатором-, в
нашем случае им является
[X,Y]=Z Z [X4,Y_kKl. (5.39)
i k+j=i
Для вычислений полезно представлять каждый А_/ выраженным в виде
(комплексной) линейной комбинации h~,H е~,Е -\-+ f-jF базисных элементов
Н, Е, F, имеющих матричное представление
(5.40)
где [Н, Е\ - 2Е, [Н, Z7] = -2F, [Е, F] = Н и все остальные коммутаторы
равны нулю. На G мы определим невырожденную симметричную билинейную форму
(форму Киллинга или внутреннее произведение)
(X, Y) = Tr(X У)0 = ? TrX_}Y_k, (5.41)
l+k=о
и при помощи этой операции G можно отождествить с ее дуальной алгеброй
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed