Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 75

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 113 >> Следующая

использовании не-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 205
которые формулы становятся значительно осмысленнее. Имеется, однако,
существенное затруднение. В то время как сами уравнения Лакса, видимо,
по-прежнему имеют место, понятие ad-инвариантной функции, столь важное в
разд. 5с, утеряно. В новой алгебре такие функции могут даже не
существовать. Во всяком случае, мы не смогли выявить ни одной. Другое
разочаровывающее свойство существующей теории состоит в том, что она до
сих пор не дала возможности определить т-функцию с помощью алгебры Ли. Мы
не имеем даже никаких идей относительно пространства, в котором она
существует. Она появилась вполне естественным путем как потенциал и как
определитель матрицы коэффициентов бесконечного набора линейных
уравнений; ее также можно формально определить через вспомогательную
функцию V, с помощью которой решаются уравнения Лакса, и через ее
производную по ? (которая соответствует действию производной в
расширенной алгебре). Но это скорее вычислительные реалии, чем
необходимые конструкции алгебры Ли, и очевидна необходимость более
глубокого понимания этого замечательного объекта.
В качестве заключительного замечания этого обзора я включил диаграмму,
приведенную на рис. 7, в которой сделана попытка дать наглядную картину
взаимоотношений различных солитонных чудес.
5Ь. Подход Уолквиста - Эстабрука [37], [77], [97].
(i) Введение. Целью этого раздела будет ответ на вопрос: является ли
данное уравнение интегрируемым, и если да, то каково естественное
представление, в котором интегрируемость почти очевидна? При ответе на
этот вопрос принимаются во внимание два ведущих принципа, приобретенные
на основании десятилетнего опыта. Первый состоит в том, что солитонные
уравнения возникают как условия интегрируемости линейных систем. Второй
заключается в том, что каждое солитонное уравнение принадлежит
бесконечному семейству коммутирующих потоков. Поэтому сначала мы должны
попытаться написать нелинейное уравнение как условие интегрируемости пары
линейных систем У* = =PV, yf=Qy с помощью подходящего выбора Р и Q. Этот
шаг приведет к выражениям для зависимости Р и Q от зависимой переменной
нелинейного уравнения и их производных, а также к бесконечному набору
коммутационных соотношений. Дальнейшие ограничения на Р и Q возникают из
требования коммутируе-
') Раздел 5Ь довольно длинен; при первом прочтении можно ознакомиться с
выводами и перейти к следующим разделам. Прочтите также комментарии в
замечании на с. 309.
206 Глава 5
мости бесконечной последовательности возможных Q. Это второе требование
прямо приводит к выбору алгебры Каца - Муди в качестве фазового
пространства. В случае иерархии АКНС ока-
Рис. 7.
зывается, что матрицы коэффициентов являются элементами si (2, С)
бесконечномерной алгебры петель, в которой каждый базисный вектор может
быть выписан как произведение одного
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
207
из базисных векторов
Н =
из si (2) и комплекснозначного параметра ?, возведенного в целую степень.
Полная алгебра Каца--Муди si (2) = si (2) + + СZ + CD содержит центр и
производную, роль которой будет обсуждаться в разд. 51.
Насколько нам известно, здесь впервые бесконечная алгебра, построенная
методом Уолквиста - Эстабрука, получила интерпретацию в рамках подхода
Каца - Муди.
(и) Нелинейное уравнение Шрёдингера. Рассмотрим первую пару нетривиальных
уравнений иерархии АКНС
Попытаемся написать эти уравнения как условие интегрируемости
Здесь под Р и Q мы понимаем матрицы произвольного порядка, коэффициенты
которых зависят от q, г и их производных. Мы можем взять (5.3), (5.4) в
нелинейном виде Vx = F(V), Vt = = G(K), в этом случае коммутатор в (5.2)
был бы общей скобкой Ли, но до сих пор во всех случаях более удобно было
брать линейное представление соответствующей алгебры.
Мы начнем с простейшего предположения, что Р зависит только от q и г.
Если это так, то она должна зависеть от этих переменных линейным образом,
как показывают следующие соображения. Если P = P(q, г), из (5.1) мы имеем
Pt = = (i/2)Pq(qxx - 2q2r)- (i/2)Pr(rxx- 2qr2), где индексы обозначают
частные производные. Для того чтобы скомпенсировать эти слагаемые в
(5.2), матрица Q должна зависеть от qx, rx, q, г, причем Qx = Qqqx + Qrrx
-f Q"xqxx + Qr/xX. Компенсация членов с qxx, гхх приводит к уравнениям
Q4x = (i/2) Pq, Q^ = - -(i/2)Pr, которые после интегрирования дают Q -
(i/2)Pqqx -
- (i/2)Prrx + Q(q, г). Тогда Qx = (i/2)Pqqxx - (i/2) P/xx +
+ (i/2) Pqqq2x - (i/2) Prrrx плюс члены, которые могут быть
qt = i/2 (qxx - 2q2r), rt = - i/2 (rxx - 2qr2).
(5.1)
Pt~Qx + [P, Q] = 0
(5.2)
пары линейных уравнении
(5.3)
(5.4)
208 Глава 5
лишь линейными по qx, гх. Поскольку коммутатор содержит члены, самое
большее пропорциональные qx, гх, мы должны иметь равенство Pqq = Prr = 0,
которое означает, что P(q, г) может иметь вид -iH + цЕ + rF qrG. Однако,
как может быть легко проверено, G коммутирует со всеми другими элементами
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed