Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 79

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 113 >> Следующая

G*.
В формуле (5.41) Tr(X-jY-ь) можно взять в виде следа произведения
матричных представлений и У_&. (По-другому его можно определить как след
матриц, представляющих присоединенные действия этих двух величин. Эти два
определения приводят к результатам, которые пропорциональны, но не
равны.) Необходимо также проверить формулу "объема параллелепипеда" <X,
\Y, Z]) = (Y, [Z, X]) = (Z, [А, У]>.
Мы можем определить градиент комплекснозначной функции f(X), определенной
на G* = G, следующим образом. Пусть
8Х е TxG является элементом касательного к G пространства
в точке X. Тогда производная по направлению
-Lf(X + e&X)U_0
функции f в точке X в направлении 6Х является линейным функционалом на
&Х, который может быть записан в виде
<V/W, 8Х). (5.42)
Vf(X) мы назовем градиентом f(X) в I В качестве примера
покажите, что Уej - F-j, V/y = ?-/, Vft/ =(1/2)Я_/, где F~j - = FV, Ej -
Еу и НЧ = НУ.
Введем понятие ad-инвариантной функции f(X), обладающей свойством
[V/W, Х\=*0 (5.43)
218 Глава 5
для всех IgG. Это уравение выражает следующую идею. Если g является
элементом группы Ли, связанной с G, то присоединенное действие g на X,
gXg-\ которое осуществляет отображение в новый элемент G, оставляет
неизменным значение /. Функция с таким свойством называется ad-
инвариантной. Это свойство может быть выражено в виде следующего условия:
для всех Уеб
О = ± / (е"Хе~") U = (V/, [У, X]).
С использованием формулы объема параллелепипеда она означает, что < [V/,
X], У) = 0, и невырожденность внутреннего произведения приводит к (5.43).
Далее, рассмотрим
* = ЛГ = [|Х,?'}, (5.44)
прямой суммой которых является G. Множество N*, дуальное к N относительно
внутреннего произведения (5.41) (минимальный набор всех элементов,
внутреннее произведение которых с любым членом из N равно нулю), также
является ортогональным дополнением К1 к /( (набор всех элементов,
внутреннее произведение которых с любым элементом из К равно нулю):
Оно будет нашим фазовым пространством, элемент которого я буду записывать
в виде
ОО
Q = ? {hrHr + е,Е, + Ш, (5.45)
О
где Нг = trrH, Er = t,-rE и Fr = l~rF.
Далее, на Kx, рассматриваемом как дуальное к N, существуют естественные
скобки Пуассона. Для двух функций f(Q), g(Q) на К1 они определяются
формулой
{/. g} (Q) = - <[%V/, J*jvVg], Q), (5.46)
где лдг - проекция V/(Q) на N. Читателю следует проверить, что
справедливы два свойства: антикоммутативность, т. е. {f, g} = = -{?"/}. и
тождество Якоби, {{/, g}, h) + {{h, /}, g}+ + {{g, h}, f} = 0. Кроме
того, каждой функции f(Q), Q^K1 соответствует гамильтоново векторное поле
xf = - лк± [nNyf (Q), Q]. (5.47)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 219
Это означает, что производная любой функции g(Q) для Q в направлении Xf
задается выражением {f,g}(Q).
Поэтому для каждой функции f(Q) существует поток или векторное поле. Еще
одной компонентой, которая необходима для того, чтобы сделать систему
полностью интегрируемой, является набор функций {//}, приводящих к
коммутируемым векторным полям: {//, fk} =0. Поэтому каждая функция из
набора {//} сохраняется вдоль векторного поля, связанного с любой из них.
Кандидатами в этот класс являются функции, которые ad-инвариантны.
Теорема Адлера - Константа - Симеса гласит, что если f(X) и g(X) ad-
инвариантные функции, то (0 {/. g} = 0 на К1;
(И) векторные поля Xf, xg коммутируют.
Иерархия АКНС возникает с помощью этой теории из простейших ad-
инвариантных функций
- Ф* (Q) = у (S*Q' Q)' /.........=........0.......С", (5.48)
где Sk является сдвигом
т. е. умножением на ?*. Чтобы увидеть это, заметим, что для
УФа(А) = -5*А; (5.49)
при этом ясно, что
[уФА W, = 0. (5.50)
Далее, заметим, что для QeK1
Qtk= [ллг^Фа(Q)> *3] = [л.к^ФА(<3), Q]; (5.51)
из (5.50)
Qtk = [nKV<bk(Q), Q].
Так как [л^уФ, QJe/C1, то
Qtk = - [я*уф* (Q), Q] = [Q(A), Q], (5.52)
где
QW = nJVS'Q = ?*(Q0+ ... + (5.53а)
причем
Qr = hrH + erE + frF. (5.53b)
220 Глава 5
Это в точности потоки (3.49) в иерархии АКНС. Свойство ad-инвариантности
fk было важным при устранении оператора проектирования (n^i) из
коммутатора.
Подчеркнем следующие моменты:
(i) Заранее не существует выделенного tk, которое необходимо было бы
назвать х. В предыдущем анализе t\ играла особую роль; она является
независимой переменной в задаче на собственные значения. Когда этот выбор
сделан, возникает иерархия АКНС. Но если в качестве спектральной
переменной х выбрана t2, в результате получается другая иерархия.
Частным случаем этой "новой" иерархии, связанной с t2, является то, что
иногда называют иерархией НУШП; она включает нелинейное уравнение
Шрёдингера с производной. С другой стороны, которую я буду обсуждать в
разд. 5к, она содержит массивную модель Тирринга точно так же, как
иерархия АКНС содержит уравнение sin-Гордон. Но на самом деле она вовсе
не является действительно новой иерархией; уравнение (5.52), записанное в
покомпонентной форме (5.55), не изменяется. Обе эти иерархии являются
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed