Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
-[-оо -j-oo
^-1 [H1 (I, Л)] = J J ехр [ - ikd (1 - - %*rf)V*] X
— OO —OO
X ехр (— і2л%х) ехр (— і2лг\у) а\ drj. (1.4) Теперь запишем ? и и в полярных координатах:
? = р cos а, (1.5)
г) = р sin а. (1.6)
Тогда соотношение (1.4) принимает вид
OO
.F-MH1(I, ті)] = [ ехр [ — 1•Ud(I-XV)1/«] р dp X
О
2я
X
о
j ехр [ — і2щ (х cos а-\-у sin а)] da. (1.7)
Если, кроме того, выразить х ж у через полярные координаты
X = —г cos ф, (1.8)
У = — г sin ф, (1.9)
то (1.7) запишется следующим образом:
OO
JF"1 [H1 (?, т])] = J ехр [ - ikd (1 - ^V)V2] р ф X о
2я
X
o
j ехр [?2ярг cos (а — ф)] da =
о
OO
- 2л j ехр [ - ikd (1 - XY)1/*] J0 (2ягр) р dp. (1.10)
о
Здесь J0 означает функцию Бесселя нулевого порядка, а для нахождения интеграла по а использован справочник [1.4]. Введем
662
ПРИЛОЖЕНИЕ I
новую переменную
s = 2лр (1.11)
и тогда вместо (1.10) получим
OO
JF"1 [H1 (?, Л)] = -аг J ехр [-dp-к*)1'*] J0(rs)sds. (1.12)
о
Согласно принятому нами правилу для знака фазы распространяющейся волны, величина, извлеченная из-под квадратного корня выражения (1.2), считается положительной. Теперь воспользуемся формулой 52 из книги Эрдейи [1.5]. Она имеет вид
с»
j J0 (bt) ехр [ -a (*2 —у2)1,2\ (t2 -у2)~1/2t dt -о
= ехр [ - Iy (а2 + Ь2)1/2] (а2 + b2)"v\ arg (t2 — у2)1/* = если ?<г/.
Дифференцирование этой формулы по параметру а дает (в обозначениях Эрдейи [1.5])
OO
j J0 {bt) ехр [ — a (t2 — у2)1/*] t dt =
о
= ехр [-.„(а. + *,'/,] ^ [—L^ + .,]. (1.13)
Подставляя (1.13) в (1.12) и производя соответствующую замену переменных, получаем
Г-ЧНЛЕ n)i^-^exp[-^(d2+r2)1/2] X ^ imis, ля 2я (d2+r2)V8 х
X-ї—тг Г1 +--—Г7-1- (1-14)
Для расстояний, значительно превышающих длину волны, второй член, стоящий в последних квадратных скобках, пренебрежимо мал. Подставляя г2 = х2 -j- у2 в соответствии с (1.8) и (1.9), получаем, что формулы (1.14) и (1.3) эквивалентны и
^-1IH1(S, To]=M*, у). (1.15)
Таким образом, эквивалентность дифракционной формулы (5.26) и интеграла Френеля — Кирхгофа (5.31) доказана.
ЛИТЕРАТУРА
663
ЛИТЕРАТУРА
1.1. ROWE Н. E., неопубликованная работа.
Угловой спектр плоских волн и интеграл Френеля — Кирхгофа для скалярного волнового уравнения.
1.2. SHERMAN G. С, Journ. Opt. Soc. Amer., 57, 546 (1965). Применение теоремы свертки к формулам интеграла Рэлея.
1.3. OSTERBERG H., Journ. Opt. Soc. Amer., 55, 1467 (1965). Интеграл Рэлея в ближней области Френеля.
1.4. JAHNKE E., EMDE F., Tables of Functions with Formulae
and Curves, 4th ed. New York, 1945. (Имеется перевод немецкого издания: Е. ЯНКЕ, Ф. ЭМДЕ, Таблицы функций с формулами и кривыми, M., 1949.)
1.5. ERDELYI A., Higher Transcendental Functions, vol. 2, New York, 1953. 1.6*. ЯНКЕ E., ЭМДЕ Ф., ЛЕШ Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, M., 1968.
1.7*. БЕЙТМЕН Г., ЭРДЕЙИ А., Высшие трансцендентные
функции, M., 1965.
Приложение II
КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В гл. 1, § 3, мы отмечали, что аналитическое рассмотрение синусоидальных сигналов, соответствующих монохроматическому абсолютно когерентному свету, упрощается при введении комплексных обозначений. Здесь мы распространим комплексное представление на случай волн, которые уже не являются простыми синусоидами. Ими могут быть, например, волны частично когерентного света.
Прежде всего введем временную пару преобразований Фурье:
CXD
^"Mg(Ol=G(Z)= j g(t)exv(-2mft)dt (IM)
— оо
И
оо
<F [G (/)] == g (*) = j G (/) ехр (2nift) df, (И.2)
— OO
где g (t) — функция времени t, a G (/), ее спектр,— функция временной частоты /. Следует обратить внимание на то, что знаки в экспонентах выражений (11.1) и (11.2) обратны знакам в экспонентах аналогичных им выражений (4.9) и (4.10) для пространственных переменных. Предположим, что g (t) в (И.2) описывает комплексное электрическое поле световой волны. Тогда G (/) ехр 2niftB соотношении (II.2) представляет фурье-компоненту функции g (?)>и мы видим, что выбор знаков согласуется с формулой (5.7).
Временную пару преобразований Фурье (II.1) и (II.2) символически запишем в виде
g (*) <= G (/). (И.З)
Обозначим электрическое поле монохроматического света частоты Z1 через vm (t) и запишем его следующим образом:
vm (t) = a cos (2л/^ + фо) —
= у [ехр (2mfxt + іф0) + ехр (—2mj$ — іф0)]. (И.4)
Как и в гл. 2, § 4, п. 1, мы считаем, что фаза ф = 2nft света, испу-
ПРИЛОЖЕНИЕ II
665
щенного непрерывно колеблющимся излучателем, линейно возрастает со временем, так что частота / может принимать только положительные значения. Выражение для комплексного электрического поля мы можем найти, рассматривая сначала выражение (11.4) как сумму двух функций, которые описывают комплексные электрические поля, причем одна из них имеет положительную частоту /ь а другая — отрицательную частоту —J1. Учитывая, что приращение фазы во времени положительно, мы отбросим компоненту с отрицательной частотой, оставив только (а/2) ехр (2лIf11 + Що).
При таком выборе фазы мы видим, что электрическое поле V7n (t) можно представить как вещественную часть комплексного электрического поля \т (t). Этого можно достичь, выбрав vm (t) в виде
